对一位海外小留学生的问题的解答

 

网友的来信

 

站长的解答

马同学你好!

你的问题的大背景是著名的平方和问题,即把一个整数表示为两个整数的平方之和的问题,这是一个数论中的经典问题,我在《漫话平方和》一文中曾有非常详细的介绍和阐述,实际上,你的问题的答案就隐藏在里面,倘若你仔细读过这篇文章的话,解决它就是小菜一碟了。

为了行文方便,以下我们就把一个可以写成两个整数的平方之和的数称为平方和。

关键是以下两条(详见《漫话平方和》一文):

(一)恒等式

(a+ b2)(x+ y2)  = (ax - by)+ (ay + bx)2

该恒等式意味着如果两个数是平方和, 那么它们的乘积也是平方和。

递推一下可知,任意多个平方和的乘积都是平方和。

 

 (二)费马两平方定理:

一个奇质数是平方和的充要条件是它被 4 除的余数等于 1 。

 

现在我们来看你的问题: 20182019 + 2018 是不是一个平方和呢?

很容易想到的第一步是因子分解

20182019 + 2018 = 2018(20182018 + 1) = 2×1009×(20182018 + 1)

因子 2 显然是平方和,因为 2 = 12 + 12

接下来 1009 是不是平方和呢?首先可以验证它是一个质数,根据上面的第(二)条即费马两平方定理,要判别它是不是一个平方和,我们只要看它被 4 除的余数是不是 1。因为

 1009 = 1008 + 1 = 252 × 4 + 1

于是由费马两平方定理我们可以判定它是一个平方和。

剩下的问题就是: 20182018 + 1 是不是平方和呢?

答案很简单,它明摆着就是一个平方和呀!

20182018 + 1 = (201810092 + 12  

好了!三个因子全部都是平方和,根据上面第(一)条我们可以断定,20182019 + 2018 也是平方和。

那么具体怎么样把它表示为两个平方之和呢?

聪明的你大概已经知道,不用我多说了吧。  

 

          

 

      

 

你还问到,如果把问题推广到任意正整数 m 怎么样呢?

解法思路是完全一样的。首先是因子分解

mm+1 + m = m(mm + 1)

接下来如果 m 是偶数,那么因子 mm + 1 就是一个平方和,因为设 m = 2n,有

         mm + 1 = (2n)2n + 1 = ((2n)n)2 + 12          (#1)

剩下来就看 m = 2n 是不是平方和(也就是 n 是不是平方和)了。

基于上文中的(一)、(二)两条,可以得出如下的一般结论(详见《漫话平方和》一文中的命题4):

一个正整数是平方和,即能表示为两个整数的平方之和的充要条件是它的质因子分解中没有被 4 除余数为 3 的质因子或者所有这样的质因子均为偶次幂。

(我们可以形象地把单个的被 4 除余数为 3 的质数像3,7,11,19,…… 看作一个数能否表示为两个整数的平方之和的“障碍”,当且仅当它们完全缺席或全都成双成对地出现时,这些“障碍”才全部消除,一个数才可以表示为平方和。)

据此我们只要把 m 作质因子分解,查看它的各个质因子,就能判断它是不是平方和了。

 

如果 m 是奇数,因子 mm + 1 是不是平方和就不能像上面(#1)式中那样简单地判定了,当然质因子分解法总是有效的,只是当 m 是一个很大的数的时候很麻烦罢了。

 

 

 

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