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从飞机的飞行姿态谈起

——如何确定三维空间中一个物体的取向

谢国芳(Roy Xie)                       Email:  roixie@163.com   

我们实际生活的空间是一个三维空间,它有三个独立的方向或者说维度(dimension):东西方向、南北方向、上下方向(中国古代称东、南、西、北、上、下为六合,注意到西是东的反方向,南是北的反方向,下是上的反方向,所以,从数学上讲,只有三个独立的方向或者说维度而不是六个),但因为我们平常的活动大多局限在地面上,谈到朝向或者说取向(orientation),大家更熟悉的是地面即二维平面上的情形,这时候只需要分辨东南西北,无论上下。比如说一个建筑物的朝向,我们用正南向或者西南向这样的词汇就能描述(但比萨斜塔例外,想一下该如何描述比萨斜塔的取向或者说姿态)

更一般地,任何一个物体在二维平面中的取向可以简单地用一个角参数确定,例如要确定一辆汽车的取向,我们只要知道车头所指的方向就够了(我们假定这是一辆在水平路面上停着的或者正常行驶的汽车,翻车时例外),而为了确定车头所指的方向,我们只需要知道它和某个固定方向比如说正北方向的夹角的大小。

 

但如何确定在三维空间中的一个物体的取向或者说姿态呢?需要多少个角参数呢?

要解决这个问题,最直观的方法是想象天空中的一架飞机(当然你也可以想象一艘宇宙飞船或者一个太空舱,只不过飞机是大家最熟悉的,更容易 visualize ,为了确定飞机的姿态,我们可以在飞机上固定三根互相垂直的假想的轴线,用数学术语说就是设定一个正交坐标系或者说正交标架:

(1)两翼方向(即从左翼到右翼的连线的方向)为 X 轴。

(2)飞机机头所指的方向(即从机尾到机头的连线的方向,或者说机身的纵轴线)为 Y 轴。

(3)飞机机身平面(或者说坐舱地板所在的平面)的法线即垂直方向为 Z 轴。[1]

 

显然,飞机的姿态完全由这三根轴的取向决定(实际上,有了这三根互相垂直的轴线即一个正交标架后,你马上会发现飞机的形状是无关紧要的,甚至整个飞机都可以被抽象掉,或者说可以被任意一个刚性物体取代)。

思考题

请独立思考怎么样确定我们上面设定的飞机上这三根轴在空间中的取向,需要多少个角参数?

 

 

注意这三个轴是固定在飞机上的,随着飞机姿态的改变,这三个轴的方向都可以自由变动,但无论怎么变动,它们永远都互相垂直,所以它们的变化并不是独立的,而是彼此相关、互相制约的,这样一来就大大减少了变化的自由度——即描述某个状态所需参数的个数。[2]

确定这三个轴的方向(即飞机的姿态)的方法很多,但有一点是不变的,那就是不管做哪种选择,都需要三个角参数,这意味着飞机的姿态有三个自由度。[3]

 

第一种方法(这是最容易从直观上把握的方法,也是航空学中实际采用的方法)是首先确定 Y 轴即机身纵轴线的方向,也就是飞机机头所指的方向,为此我们需要两个角参数:

(1)飞机机头的仰角即机头所指方向和地面(或者任何一个水平面)的夹角 θ (如下图所示)。

(2)飞机机头指向的方位角 φ ,它可以定义为飞机机头所指方向即机身纵轴线在地面(或者任何一个水平面)上的垂直投影(下图中的OP)和正北方向的夹角。

 

给定角 θ,φ 的值,就确定了飞机机头所指的方向,但注意此时飞机的姿态并没有完全定死,因为它还可以绕机头所指方向也就是机身的纵轴线旋转(假设原来飞机的两个机翼是水平的——即 x 轴平行于地面,这个旋转会导致两个机翼不再处于同一个水平面上,而是会侧斜过来一高一低),所以,我们需要引入第三个角度——机翼的倾斜角或者说侧转角 ψ,它和 θ, φ 合在一起就完全确定了飞机的姿态(参见下图)。

 

思考题

考虑先确定 Z 轴即飞机机身平面(或者说坐舱的地板平面)的垂直方向,再确定 Y 轴即飞机机头所指的方向,这时应该定义怎样的三个角来描述飞机的姿态?

 


 

To be continued(à suivre)

 注 解

[注1] 规定X轴、Y轴、Z轴构成右手坐标系(即满足右手螺旋法则),这样一来,当X轴和Y轴确定后,Z轴的方向就完全确定了。

[注2] 看出三维空间中的一个活动的正交标架有三个自由度,即确定互相垂直的三根轴需要三个参数的最直截了当的方法是这样的:确定第一根轴需要两个参数,接下来确定第二根轴就只需要一个参数了(因为它一定和第一根轴垂直,所以只能在和第一根轴垂直的平面上转动),而在前两根轴固定之后,第三根轴就自动定死了(因为它必定垂直于前两根轴且满足右手螺旋法则)。

[注3] 等价地说,三维转动有 3 个自由度,亦即所有三维转动所构成的集合(因为任何两个转动的复合还是一个转动,所以它是一个群)——转动群 SO(3) 是一个 3 维流形。

这也可以从欧拉转动定理和欧拉角得到验证。根据欧拉转动定理,任何一个三维转动都是定轴转动,由转动轴和转角 ω 确定,而转动轴的方向可以由其球坐标 θ,φ 确定,于是任何一个转动都可以由三个角参数 θ,φ,ω 确定,这可以称为转动的球坐标表示(参见三维转动的欧拉角和转轴转角参数相互转换的谢国芳公式一文中的图1)。

另一方面,任何一个转动也可以由三个欧拉角 α, β, γ 确定(参见三维转动的欧拉角和转轴转角参数相互转换的谢国芳公式一文中的图2)。

拓展思考:

确定 n 维(欧几里德)空间中的一个活动的正交标架需要几个参数?等价地说,n 维空间中的转动有几个自由度?或者说转动群 SO(n) 是一个多少维的流形?     

 

Solution