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关于三维转动的研究手稿(1)

        —— 谢国芳(Roy Xie)                                           Email:  roixie@163.com   

目 录

§1. 转动的球坐标描述(转轴转角表示)

§2. 转动的欧拉角描述

§3. 转动的球坐标(转轴转角参数)和欧拉角的相互转换公式

[注1]

[注2]

[注3]

[注4]

[注5]

[注6]

[注7]

[注8]

[注9]

[注10]

[注11]

 

[注12]

 
   

[注20]

 
   
 

未完待续(to be continued)

 
 
 

 注 解

[注1] 转动的“球坐标表示”是作者创造的一个名词。根据欧拉转动定理,任何一个三维转动都是定轴转动,由转动轴矢量 和转角 ω 确定,矢量 的方向可以由其球坐标 θ,φ 确定,于是任何一个转动都可以由三个角参数 θ,φ,ω 确定,这可以称为转动的球坐标表示(参见三维转动的欧拉角和转轴转角参数相互转换的谢国芳公式一文中的图1)。

[注2] 设为一个单位矢量,即 .

[注3] 一个算子或者矩阵 A 的指数函数由泰勒级数定义:

表记绕 轴,转角为 ω 的转动, 由式(2)即得


这正是李群理论中著名的指数映射(exponential mapping), 可以看作绕 轴的无穷小转动的生成元,即三维转动群 SO(3) 的切空间即李代数(Lie algebra)中的一个元素。

[注4] 这里采用了爱因斯坦求和约定,即两个相同的下标(或上标)隐含求和,显式地写出来即

其中 为列维-奇维塔符号(Levi-Civita symbol),它关于指标 i, j, k 反对称(即,因此当 i = j 或 j = k 或 i = k 时其值都为 0 ),从而也具有轮换不变性(),其仅有的非零值为



[注5] 是我们借用矢量的概念来表示列维-奇维塔符号,它有三个分量:I1,  I2,  I3, 每个分量都是矩阵,其矩阵元的定义是:

也可以仿照普通矢量一样定义内积:



[注6] 这里用到矢量积公式

为克罗内克 δ 符号(Kronecker δ symbol),其定义为



[注7] 本页以下(从式(7)以下直到式(13))的内容是为了以后推导三维转动群 SO(3) 上的不变微分形式和不变测度做准备的,和后面推导转动 R 的矩阵表示(式(14))无关,读者可跳过。

[注8] “[ , ]”是算符和矩阵的对易子(commutator),也称为李括号(Lie bracket),定义为



[注9] 这些对易关系正是 SO(3) 群的李代数结构,我们看到它们和泡利矩阵 σ1, σ2, σ3 的对易关系除了相差一个常数因子外完全一样,由此可以窥见三维物理空间中的转动群 SO(3)和二维复空间(如量子力学中电子的自旋空间)中的转动群 SU(2)局部是同构的(从整体讲 SU(2) → SO(3) 是 2 对 1 的同态)。

李群从局部看完全由它的李代数决定,这是李群理论最给力的地方(李代数是一个线性空间,比非线性的李群容易研究得多)。

附录:泡利矩阵及其对易关系



[注10] 此处的 I 是恒等变换即单位矩阵。

[注11] 把它写成矢量的形式(注意 ,参见式(2))即

这正是欧拉-罗德里格公式(Euler-Rodrigues Formula)。

[注12] 这里的欧拉角采用了量子力学中通常使用的 zy'z''规则,而在数学和经典力学中通常使用 zx'z''规则(参见三维转动的欧拉角和转轴转角参数相互转换的谢国芳公式一文),它们的区别仅在于交换 x,y :

 

 

[注20] 此处的 ,其中 σ1, σ2, σ3 为泡利矩阵(参见 [注9])