也许十六世纪最壮观的数学成就是意大利数学家们发现的三次和四次方程的代数解法。关于这一发现的故事,用最丰富多彩的文笔描述时,比得上塞利尼(B.Cellini)的作品的任何一页。    

        ——《数学史概论》(by Howard Eves)

 



    在十六世纪早期,三次方程的解法是数学自希腊时代以来第一个毫不含糊的进步,它揭示了希腊人未曾驾驭的代数的威力,这种威力很快为几何开辟出一条新路,一条真正的王者之路。卡丹(Cardan)对这一发现的兴奋之情是完全可以理解的。即便在今天,任何一个人能亲自发现三次方程的解,至少对他高贵的数学生涯是一种激励。(参见卡茨(Mark Kac)(1984))
         ——《数学及其历史》 (by John Stillwell)
 



      在我们这个时代,博洛尼亚的费罗已经    解决了三次幂和一次幂等于一个常数的情形,是非常巧妙和令人赞叹的成就。因为这门艺术的精妙与明晰超越了人类的一切能力,它真是来自天国的礼物,能够清楚地测定人的智力。任何人只要专注于它,就会相信世间没有任何事是不可理解的。
                        ——卡丹(Cardan)



  

     费罗怎么会知道要这样做?美籍波兰数学家卡茨(Mark Kac, 1914-1984)用它关于普通天才与神奇天才之区别的名言回答了这个问题:“普通天才是你我差不多都可以成为的人,只要我们能再优秀上好几倍,关于他的心智的如何运作的,毫无神秘可言,一旦我们了解了他的所做,我们就会确信我们本来也是可以做到的,神奇天才则不同……他们心智的运作几乎完全不能理解,甚至在我们了解了他们的所做之后,他们对这些事的过程对我们来说仍完全是漆黑一片。”费罗的想法就属于神奇之类。
                           ——《虚数之谜》


 

 

     The only way to learn mathematics is to do mathematics.
    学习数学的惟一方法是自己动手做数学。


           —— 哈尔莫斯(Paul Halmos)

 

 

 

 

    I believe in intuition and inspiration. Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution.

  想像力比知识更重要,因为知识是有限的,而想象力则包罗万象,推动着进步,是进化的源泉。

           ——爱因斯坦(Einstein)






    Logic will get you from A to B. Imagination will take you everywhere.
  逻辑会把你从A引导到B,而想象力会把你引向任何地方。
           ——爱因斯坦
(Einstein)

 

  

    If intellectual curiosity , professional pride , and ambition are the dominant incentives to research , then assuredly no one has a fairer chance of gratifying them than a mathematician. His subject is the most curious of all --- there is none in which truth plays such odd pranks. It has the most elaborate and the most fascinating technique, and gives unrivalled openings for the display of sheer professional skill. Finally , as history proves abundantly , mathematical achievement, whatever its intrinsic worth , is the most enduring of all.

     <拙译> 如果理智的好奇,职业的自豪和抱负心是研究工作的主要激励,那么可以肯定没有谁比数学家享有更好地满足这些欲望的机会了。他的研究对象是世上最激发好奇心的——没有哪一个领域里的真理爱跟人耍如此奇诡的把戏。它具有最完善精致和最有趣迷人的工具,它给人表现纯粹的职业技巧无可匹敌的良机。最后,正如历史充分证明的那样,数学上的成就,无论它的内在价值如何,是世间最永久恒常的。


                            ——哈代G.H.Hardy

 

        ——摘自《一个数学家的辩白》

            (A Mathematician's Apology)




菲尔兹奖得主 Timothy Gowers 论如何解三次方程 ——

How to Discover for Yourself the Solution of the Cubic

如何亲自发现三次方程的解法

                                                     —— Timothy Gowers         谢国芳(Roy Xie)译

   

让我们想像自己面对着一个三次方程 x3 + ax2 + bx + c = 0. 解出该方程意味着要写出一个求它的根的公式,该公式应该以它的系数a, b, c和一些常数 ( 即不依赖于a, b, c的数 ) 表示,并且只用加减乘除和开方运算。

正如我在其他网页里所做的那样,我将表明这样的一个公式可以凭着标准的数学直觉推导出来,而不需要神秘的灵感闪现。我当然不是断言任何有理性的人都能在一两个小时内推导出这个公式——通常需要尝试几种不成功的直觉才能发现正确的标准化数学直觉。然而,在任何给定的情况下,合适的直觉之列表一般不会太长。如果你年轻,雄心勃勃,仍然不知道如何解三次方程,那么我建议你亲自动手一试,或者在读一点本页的内容之后再作尝试,你在几个小时内获得成功的可能性很可能比你预想的高。 让我们从一个数学中最普遍有效(而且明显易懂)的解题原则开始吧。

如果你正试图解决一个问题,看看能不能把一个已知的解法类推应用于一个类似的问题。

运用这个原则可以避免对每一个新问题都从头开始。重要的并不是该问题本身的难度,而是克服该问题和其他已经解决的问题之间的差异的难度。

二次方程的解法

在现在这个情形中,显而易见,我们想到的类似的问题就是解二次方程 x2 + 2ax + b = 0 (我加上因子2仅仅是为了方便,当然这在数学上没有任何区别)。 我们怎么办呢?唔,我们 "注意到"

x2 + 2ax +b = (x+a)2 + b - a2

这很快就导出解

x = -a +/- (a2 -b)1/2

这一招高明吗?在接下去考虑三次方程之前详细考察这个更初等的方程是有益的,所以让我们假想我们甚至不知道如何解二次方程,一个可能把我们引向它的解的思路是这样的: 在干瞪着一般的方程 x2 + 2ax +b = 0 毫无头绪之后,我们退回到下面这个问题:

有我知道如何求解的特殊情形吗?

然后,我们有点尴尬地注意到当 a = 0 时我们能解这个方程,也就是说,我们能解方程 x2 + b = 0(因为我们可以开平方根)。接下去,我们也许注意到如果 b = a 2 那么我们就得到了方程 x2+ 2ax + a2 = 0, 它可以改写为 (x+a)2 = 0. 一旦注意到这一点,我们就会认识到有帮助的并不是方程的右边是0,而是左边是一个完全平方,所以我们对于任意的 b 都能解出 (x+a)2 = b ,这给了我们一大类能解出的二次方程,所以我们不问下面这个问题就太傻了:

有不能改写成 (x+a) 2 = b 这种形式的二次方程吗?

为了回答这个问题,我们需要把它重新写回原来的形式,这只要乘出括号,把 b 移到方程的左边就行了,这样我们就得到了方程 x2 + 2ax + a2 - b = 0.

到此就非常清楚了,我们可以令 2a 等于任何一个我们需要的数,在这样做了之后,接着我们又可以令 a2 - b 等于任何另一个我们需要的数,于是二次方程就解出来了。

如果你觉得看出方程 x2 + 2ax + a2 = 0可解是一个过高的要求,那么还有另外一条路径:想知道 1+21/2 是否是一个代数数并不需要太多的好奇心,注意到如果 x=1+21/2 则 (x-1)2 = 2 也不需要太多的才华,只要把这个例子加以推广,你很快就会认识到形如 (x+a)2 = b 的方程是可解的。

 

三次方程的初步简化

什么是配方这一操作在三次方程中的自然推广呢?要回答此类问题,下面这一策略常常是有用的:

对你想要推广的东西给出一个一般性的描述。

我将尝试直接通过实例来阐明我的意思。为了配方,我们注意到

(x+a/2)2 = x2 + ax +a2/4

因此我们可以把任何以x2 + ax 开始的二次方程写成 (x+a/2)2 加一个常数的形式。

换一种说法是,如果我们令 y = x + a/2,那么 y 就满足一个形式特别简单的二次方程 y2 + C = 0。当然,一旦我们解出了这个关于 y 的方程,很容易解得到x,因为 x 是 y 的一个很简单的一次函数。 在这个关于 y 的这个方程中,什么变得更简单了呢?对于这个问题有两个合理的回答,把两者都考察一下是值得的。

第一个回答是注意到这个关于 y 的方程只包含 y2 和一个常数项——所以用 y 代换 x 就使得我们可以设一次项的系数为0。

第二个回答更加简明易懂——它更简单是因为我们断言形如 y2 + C = 0 的方程可以轻松求解。这一思路引发出两个问题:

1.有类似的方法可以简化一个三次方程使得它的某些项的系数变成 0 吗?

2.有类似的方法可以简化一个三次方程使得它变成 y3 + C = 0 的形式吗?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 >>>>>>  未完待续(To Be Continued)