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论三次方程总目录

 

怎样解三次方程(1):

关键的第一步 —— 一般三次方程的简化

 谢国芳(Roy Xie)                               Email:  roixie@163.com   

想必大家都知道二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式

                                                     (1)

求解一般形式的三次方程 ax3 + bx2 + cx + d = 0,就是要寻找一个类似的公式,用系数 a, b, c, d  的加减乘除和开方运算的组合表示出它的解。

和二次方程相比,这是一个困难得多的问题[1]。你甚至会怀疑这样的公式是否存在[2],怀疑是一种宝贵的精神,而且在这里是完全正当的,因为没有任何东西保证这样一个公式存在[3],幸而对于三次方程来说,的确存在一个非常类似于式(1)的求根公式(参见一般三次方程的谢国芳求根公式),这件事本身就是一个代数的奇迹!

那么,究竟该怎样着手解三次方程 ax3 + bx2 + cx + d = 0 呢?

假如你干瞪着方程 ax3 + bx2 + cx + d = 0 发呆,不知道该怎么下手,这时候用得上数学中一个普遍有效的思想方法、一个解决问题的很好的策略 ,我们可以把它表述如下:

当你面对着一个比较复杂的问题时,看看能不能对原问题作适当的简化而“不失一般性”?

注:“不失一般性”的意思是一般情形可以通过某种变换转化(be transformed)或者说约化(be reduced)为相对简单的情形或者说特殊情形。

我们可以专门给这一思想方法和解题策略起一个名字——“约化原则”(principle of reduction)。

现在,就让我们试着运用这一原则来探索一般三次方程 ax3 + bx2 + cx + d = 0 的求解问题。

首先,我们注意到,“不失一般性”,可以令首项系数 a = 1 ,因为如果 a ≠ 1, 只要方程两边同除以 a 就行了,这一步几乎人人都想得到。

接下来,“不失一般性”,我们可不可以让二次项系数 b 取某个特殊的值,特别地,取最好的值最方便的值 0 呢?

要回答这个问题,我们就要试着寻找一个能使方程的二次项系数发生变化的变换。

我们自然想到可以在方程 x3 + bx2 + cx + d = 0 中作某种变量代换,最一般的变量代换是一个函数 x = f(y),最简单的函数当然是一次函数,我们就从最简单的开始尝试,看看通过一次函数或者说线性变换

x = ky + t

我们能取得什么样的结果。特别地,我们还可以令 k =1,即先考虑最最简单的变换——平移变换 x = y + t(t 是一个待定的数或者说参数)。

将 x = y + t 代入方程 x3 + bx2 + cx + d = 0,展开整理后我们得到下面这个关于 y 的三次方程(其系数依赖于参数 t):

 y3 + (3t + b) y2 + (3t2 + 2bt + c) y + (t3 + bt2 + ct + d) = 0

我们看到,新方程的二次项系数等于 3t + b,选择 t = -b/3,即可以令它等于0,即消去二次项。

意大利数学家卡丹(也译作卡当、卡尔达诺,Gerolamo Cardano or Jérôme Cardan,1501 – 1576)是第一个想到这一变换的人,当时另一位意大利数学家塔尔塔利亚(Nicolo Tartaglia,1500-1557)已经找到了没有二次项的三次方程即形如 y3 + py + q = 0 的三次方程的解法,而卡丹则看出,通过变换 x = y - b/3 可以消去一个一般三次方程 x3 + bx2 + cx + d = 0 的二次项,将它转化为塔尔塔利亚已经解决的情形,从而彻底圆满地解决了三次方程的求解问题。

卡丹想到作代换 x = y - b/3 完全是突发灵感的神来之思(用他的语言说是“神启”,是“来自天国的礼物”),而我们在这里表明,它可以用数学中一个普遍适用的方法和解题策略推导出来,并不需要神秘的灵感闪现。从数学的方法和思想上讲,“化神奇为平凡”,变“奇异的”、“不自然的”、难以想到和把握的方法为“正常的”、“自然的”、容易想到和把握的想法,无疑是值得追求的目标。

 

思考题:

前面在线性变换(一次函数变量代换)x = ky + t 中为了使计算简化我们特别选取了 k = 1,试问,如果考虑一般的线性变换 x = ky + tk为一个待定系数),又能得到怎样的结果?

 

 

看出怎样消去二次项的另一个方法是借助韦达定理。

设方程 x3 + bx2 + cx + d = 0 的三个根为 x1, x2, x3 , 韦达定理告诉我们:

x1 + x2 + x3  =  - b

由此我们一眼就能看出,通过平移变换就能使二次项系数变为0。

考虑平移变换 x' = x + b/3,在该变换下,方程的三个根变为

 x1' = x1 + b/3,         x2' = x2 + b/3,        x3' = x3 + b/3

于是                                                           

x1' +  x2' +  x3'  =  x1 + x2 + x3  + b  =  -b + b  = 0

由韦达定理即知新方程(它的三个根为 x1' ,  x2' ,  x3' )的二次项系数等于0。

平移变换 x' = x + b/3 的逆变换为 x = x' - b/3,所以,只要在原方程 x3 + bx2 + cx + d = 0 中作代换

x = x' - b/3, 

那么,不用任何计算,我们就知道,新方程(它以 x' 为变元)的二次项系数必为0。

(《孙子兵法》云,“不战而屈人之兵,善之善者也。” 同样,在数学中我们也可以说,“未算而先知,善之善者也。”)

  上述结果显然很容易把推广到更高次的方程(比如四次方程、五次方程)。

思考题:

通过什么样的变量代换能消去一个 n 次方程  xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ...... + an-1x + an = 0 的次最高次项(即 n -1次项)?

 

 

推导过程1

 注 解

[注1] 早在公元前二千年,古巴比伦人就已经知道怎样解二次方程,七世纪时的印度数学家婆罗摩笈多(Brahmagupta,598-665)和稍后的阿拉伯数学家花剌子米(约783-850)用代数方法得到了相当于我们熟知的二次方程求根公式的的结果。而三次方程的代数解法,直到五百年前才被意大利数学家费罗(Scipione del Ferro, 1465-1526)、塔尔塔利亚(Nicolo Tartaglia,1500-1557)和卡丹(也译作卡当、卡尔达诺,Gerolamo Cardano or J.Cardan,1501–1576)等人得到(倘若你真的能独立地解出三次方程,早生五百年,你就是一个顶级的数学家!),他们发现解法的过程本身就是一个极富戏剧性的传奇故事,这也许是数学史上最有趣的一段历史。在三次方程被成功地解开后不久,卡丹的弟子费拉里(Lodovico Ferrari, 1522-1565)又找到了四次方程的解法(通过巧妙地把它转化为一个三次方程的求解问题)。

  → 参见 ______ 。

“也许十六世纪最壮观的数学成就是意大利数学家们发现的三次和四次方程的代数解法。关于这一发现的故事,用最丰富多彩的文笔描述时,比得上塞利尼(B.Cellini)的作品的任何一页。 ”——《数学史概论》(by Howard Eves)

“在十六世纪早期,三次方程的解法是数学自希腊时代以来第一个毫不含糊的进步,它揭示了希腊人未曾驾驭的代数的威力,这种威力很快为几何开辟出一条新路,一条真正的王者之路。卡丹对这一发现的兴奋之情是完全可以理解的。即便在今天,任何一个人能亲自发现三次方程的解,至少对他高贵的数学生涯是一种激励。(参见卡茨(Mark Kac)(1984))” ——《数学及其历史》 (by John Stillwell)

[注2] 1494年,意大利数学家帕乔利(Luca Pacioli,约1445-1517)在他出版的著作《算术、几何、比例和比例性质集成》(Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita)中就曾断言,“解三次方程就像化圆为方一样,以目前的科学水平是不可能的”。

[注3] 十七、十八世纪的数学家们(包括当时最杰出的数学家欧拉、拉格朗日等)在寻找五次方程求根公式的过程中经历无数次失败的尝试之后才“痛定思痛”,“穷则思返”,开始想到他们要寻找的求根公式可能根本就不存在,但仅仅是一种怀疑和猜想(但这种怀疑和猜想比起一味徒劳的寻找已经是巨大的进步),并不能证明这一点。

在数学中,证明一个东西存在并不需要找到它(根据代数基本定理,我们知道任何一个 n 次方程在复数域一定有 n 个根,但能不能把它们显式地表示出来是另外一回事);同样,你找不到某个东西也并不能证明它不存在。直到两个少年天才——阿贝尔(Abel,1802-1829)和伽罗华(Galois,1811-1832)横空出世(在数学王国里真正是"自古英雄出少年"!参见哈代《一个数学家的辩白》(A Mathematician's Apology)中的相关论述),发明最锐利的抽象代数工具——群论后才严格地证明了,一般形式的五次和五次以上的代数方程不能用根式求解,即其根不能用系数的加减乘除和开方运算的组合表出。这在传统数学中不要说无法证明,你甚至无法想象这居然是可以证明的!欲知抽象代数和群论究竟为何物,竟有这般神奇的威力,可参阅拙文《从自然数的算术谈起—— A Friendly Introduction to Modern Algebra 》