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Guofang Xie's Formulae for the Roots of a General Cubic Equation

and Discriminating Methods thereof

一般三次方程的谢国芳求根公式和判别法  

 

   

[注1]


          该求根公式的推导参见2012年第21期《数学学习与研究》杂志本作者的“一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则”一文 


当 D = b2 -3ac = 0 ,即关键比的分母等于 0 时,方程可以配成完全立方简单地求解。 [2]

→ 参见 一般三次方程的退化情形(D = 0 的情形) 

注意当系数 a, b, c, d  全都为实数时,上述求根公式即一般实系数三次方程谢国芳求根公式的(1.2)式[3],因此它也可以看作后者到复数域的解析延拓。

所以在此我们不再重复给出用上述公式求解实系数三次方程的例子(可参见一般实系数三次方程谢国芳求根公式中的相关例题),下面只举两个用它来解复系数三次方程的例子。

 












[注4] 

 一般三次方程的退化情形(D = 0的情形)

 

注 解

 

 

[1] 注意在复数域内的平方根和立方根分别有二个值和三个值,文中的平方根和立方根都可以取任意一个值,最终得到的解是完全相同的(除了根的编号可能不同之外),这可以称为方根取值的自由性原则,它的原理其实就隐含在我们对各公式的推导过程中,因为我们对其中出现的平方根和立方根都没有限定它取哪一个值,也就是说它可以取任意一个值.

在实际应用中,为了方便计算,我们不妨对各求根公式中方根的取值做如下的约定:

1. 平方根一律取主值(参见附录1).

2. 立方根的取值则视立方根号内的数而定:当立方根号内为实数时取实数值,为虚数时则取主值(参见附录1).

[2] 当且仅当 D = b2 -3ac = 0 时,方程 ax3 + bx2 + cx + d = 0 才能配成完全立方求解,也就是说,只要 D 0,那么企图用配立方的方法求解三次方程(就像用配平方法求解二次方程一样)就是徒劳的,请读者深思这一事实的意味,并探究其缘由(参见______)。

[3] 注意当 D = b2 -3ac < 0 时,关键比 χ 即等于我们在一般实系数三次方程谢国芳求根公式中定义的(实)关键比 r ,而当 D = b2 -3ac > 0 时它等于 ir.

[4] 关于复数平方根的快捷计算,参见下面的附录2.