Guofang Xie's Formulae for the Roots of a General Cubic Equation

and Discriminating Methods thereof

一般三次方程的谢国芳求根公式和判别法 

      Email:  roixie@163.com   

                                                                                                                          

总目录(table of contents)

以上求根公式已发表在2012年第21期《数学学习与研究》杂志上。

【注5】

【注6】

例题

由 D < 0 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根,可用求根公式(1.1)求解.

 

由 D > 0 ,r > 1 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根,可用求根公式(1.2)求解.

 

由 D > 0 ,|r| < 1 可知该方程有三个互异的实根,可用三角求根公式(1.3)求解.

 
 

由 D < 0 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根,可用求根公式(1.1)求解.

 

由 D > 0 ,|r| > 1 可知该方程有一个实根和两个共轭虚根,可用求根公式(1.2)求解.

 
   
   

习 题

习题1  判别方程 3x3 + 2x2 + 2x - 1 = 0 根的情况并求其精确解。

           

Prob1

习题2  判别方程 27x3 + 18x2 - 21x + 4 = 0 根的情况并求其精确解。

           

推导过程1

推导过程1

习题3  判别方程 576x3 - 720x2 - 288x + 89 = 0 根的情况并求解。

           

推导过程1

习题4  中世纪的意大利数学家斐波那契(Fibonacci,1175–1250年,又译作费波那西,以发现著名的斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...著称)曾求得三次方程 x3 + 2x2 + 10x - 20 = 0 的一个近似解为

x ≈ 1° 22' 7'' 42''' 33'''' 4''''' 40''''''

(斐波那契用六十进制表示这个数,换算成十进制它等于 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 + 33/604 + 4/605 + 40/606 ≈ 1.36880810785)

请判断斐波那契的解的精度,更具体地说,它到哪一位是精确的?误差约为多少?

           

推导过程1

推导过程1

一般实系数三次方程的谢国芳公式是专门用于求解实系数三次方程的求根公式,按照现在的这种形式,我们并不能无障碍地把它应用于复系数三次方程(最大的障碍是关键比 r 的定义式求根公式(1.1)中那个讨厌的绝对值符号[7]),这当然是令人遗憾、美中不足的,那么,怎样才能弥补这个缺陷,把它“升级”为一个同样适用于复系数三次方程的完美的求根公式呢?

说穿了非常简单,只要在我们使用的数学符号上动一点手脚,做一点小小的改动就行了!

初看似乎令人奇怪的是(但细想却不奇怪,为什么?[8],“升级”后的版本—— 一般(复系数)三次方程的谢国芳求根公式“复系数”三字可省,因为它当然也适用于实系数三次方程)的形式更简单、更统一、更完美,而且推导起来也更便捷,更清爽,比局限于实数域的情形要简单得多!清爽得多!然后只要把它应用到当系数均为实数的这一特殊情形,我们就轻而易举地推导出了本页的结果,即一般实系数三次方程的谢国芳求根公式和根的判别法则[9]


注 解

[1] 注意第一判别式 D = b2 - 3ac 和二次方程判别式 Δ = b2 - 4ac 的相似性(这很方便记忆).

[2] 严格地说,关键比 r 应称为实关键比(real-valued key ratio),因为后面我们还将定义适用于复系数三次方程的(复)关键比χ和λ.

[3] 注意下面这几个求根公式和二次方程求根公式 形式上何其相似之甚!真的,它们并不比二次方程的求根公式难记多少(只要你记住了关键比的定义).

[4] 也可以用三角求根公式(1.3)求解:
        当 r = 1 时,θ = cos-11 = 0 ,代入式(1.3)得 ,
        当 r = 1 时,θ = cos-1(-1) = π ,代入式(1.3)得 , 
        后者和用求根公式(1.2)求解所得结果(参见正文中的(三))的差别只是根的编号不同.

[5] 当且仅当 D = b2 -3ac = 0 时,方程 ax3 + bx2 + cx + d = 0 才能配成完全立方求解,也就是说,只要 D 0,那么企图用配立方的方法求解三次方程(就像用配平方法求解二次方程一样)就是徒劳的,请读者深思这一事实的意味,并探究其缘由(参见______)。

[6] 即当关键比的分母和分子都为0时,方程有一个三重实根;当关键比的分母为0而分子不为0时,方程仍有一个实根和两个共轭虚根(请读者自证之)。
       (提示:  D = b2 -3ac = 0 , b3 = 27a2d 关键比的分母和分子都等于0).

[7] 绝对值符号的讨厌倒不在于它外形上的“难看”,而在于它某种更深层次的“不自然性”,因为它破坏了“连续性”(continuality)或者更准确地说“解析性”(analyticity),阻止了我们自由地向复数域解析延拓。

[8] 因为复数域才是三次方程真正的“家园”,在其中你看到了一幅完美、统一、简单的图景,而在实数域里你只能看到它的不完美的片段的投影。

[9] 当然,我们也可以局限在实数域里独立地推导它,虽然会麻烦一点,参见______.