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正多边形的尺规作图问题 (1)

— Constructing Regular Polygons with Compass and Straightedge

谢国芳(Roy Xie)                      Email:  roixie@163.com   

章节目录

1. 哪些正多边形可用尺规作出

  1.1 一个千年几何难题——二千多年的原地踏步

  1.2 高斯的伟大突破——正十七边形可作

  1.3 千年难题的谜底——正多边形尺规作图的“高斯判据”

2. 正多边形作图问题的代数分析

1. 哪些正多边形可用尺规作出 

1.1 一个千年几何难题——二千多年的原地踏步

正多边形的作图是一个古老的几何问题,早在古希腊的欧几里得时代,人们就知道下列正多边形可以用(不带刻度的)直尺和圆规作出:

正三角形,正四边形即正方形,正五边形,正六边形,正八边形,正十边形,正十二边形,正十五边形,正十六边形,正二十边形, ……

思考题

注意除了正三角形、正五边形、正十五边形之外,上面的正多边形的边数都为偶数,请问这是为什么?除了正三角形、正五边形、正十五边形之外,还有别的边数为奇数的正多边形能用直尺和圆规作出吗?

 

相信绝大多数人都能毫不费力地作出正三角形、正方形、正六边形和正八边形,但正五边形和正十五边形的作法就比较复杂了,独立自主地想出来并不容易。

思考题

怎样用圆规和直尺作出正五边形(或者说正五角星)和正十五边形?

 

下面给出正五边形的一种作法(参见下方的图)

1. 设 O 是待作的正五边形的中心,P1 是一个顶点,以 O 为圆心、OP1 为半径作圆,它就是正五边形的外接圆,作直径 AB 垂直 OP1

2. 以 OB 的中点 M 为圆心,MP1 为半径作圆(图中红色的圆),交 OA 于 C 点。

3. 以 P1 为圆心,CP1 为半径作圆,交外接圆于点 P2, P5,它们就是正五边形的另两个顶点。

4. 以 P2 为圆心作同半径的圆,交外接圆于另一点 P3,再以 P3 为圆心作同半径的圆,交外接圆于另一点 P4,顺次连接P1, P2, P3, P4, P5,即得正五边形。

 

图1  正五边形的作法 

 

思考题

试证明上图中作出的五边形 P1P2P3P4P5 为正五边形。

 

 

正五边形的作法早在欧几里得的《几何原本》中就有描述,而由正三角形和正五边形可作可以推知正十五边形也可作(请读者思考为什么? )。[1]

 

但正七边形、正九边形、正十一边形等一般边数为奇数的正多边形的作图问题却在欧几里德以后长达两千多年的岁月里一直都无法解决,无数人为此绞尽脑汁,耗费了大量时间和精力,到头来却一无所获。不过,数学家们对他们在这一问题上的“无能”并不介怀,因为他们中的绝大多数人相信(尽管不能证明),除了3,5,15 之外,边数为其他奇数的正多边形是不可能仅仅用圆规和直尺作出的,这可以说是一条被千百年来的“实践”所“证明了”的“金科玉律”

(但在数学中,“实践”并不是检验真理的唯一标准,证明才是检验真理的唯一标准,没有证明的论断只能说是猜想或者说臆断,在没有证明之前,“一切皆有可能!” )

 

 

1.2 高斯的伟大突破——正十七边形可作

 第一个伟大的突破是德国天才数学家、被誉为“数学王子”的高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855)作出的。

1796年,当时还是大学二年级学生的年仅19岁的高斯证明了正十七边形是可以用直尺和圆规作出的,这一石破天惊的发现震惊了当时的数学界,也让高斯本人充分认识到自己超常的数学天赋,从此决定选择数学而不是古典语文作为自己毕生的事业(高斯也有很高的语言天赋,他的拉丁文学得极好[2],对于自己将来应该当个数学家还是古典语文学者,他曾一度犹豫不决)。

图2  圆内接正十七边形 

 

发现正十七边形可作无疑是高斯人生中一个关键性的事件,它促使高斯全身心地投入了数学(否则高斯说不定会成为语言学家,那就是整个数学和人类的巨大损失了)。即便在日后成为大数学家,作出了更多更伟大的发现之后,高斯仍非常珍视自己青年时代的这一发现(好比是一个永生难忘的留下最美印象的初恋情人),将它视为生平第一得意之作,到了晚年,他还叮嘱务必把正十七边形刻在他的墓碑上[3],就像阿基米德要求把他最得意的发现——球的体积公式(球的体积等于外接圆柱体积的2/3)刻在自己的墓碑上,雅克布·伯努利叫人把最钟爱的对数螺线刻在自己的墓碑上。

呜呼!遥想三公的墓碑,这种至死不休的对数学的精诚至爱足以让天地为之动容!鬼神为之感佩!正如干将、莫邪把自己的生命熔铸进了宝剑里,真正的数学家也把生命熔铸进了他们发现的至真至善至美的事物中,他们对数学的热爱超越了生死,他们在数学中得到了永生!

 

 


 

 

To be continued(à suivre

 

 注 解

[注1] 更一般地可以证明如果正 m 边形和正 n 边形可作,且 m, n 互素(即最大公因子等于1) ,则正 mn 边形亦可作。

  请读者先尝试自己独立地证明这个论断。  → 参见下一节 正多边形作图问题的初步分析

[注2] 高斯的名著《算术研究》(Disquisitiones Arithemeticae )就是用拉丁文写成的。

[注3] 但后来在高斯的墓碑上刻的其实并不是正十七边形,而是正十七角星,因为雕刻师认为,正十七边形太近似于圆(参见图2),一般人分辨不出来。