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圆锥曲线的谢国芳小定理(1)

— 继帕斯卡定理和布列安桑定理之后又一朵射影几何的奇葩

谢国芳(Roy Xie)                       Email:  roixie@163.com   

目 次

1. 六边形和四边形的情形——谢国芳小定理

   ○ 把帕斯卡定理和布列安桑定理结合在一起引发的思考

   ○ 美妙的新发现

   ○ 彭赛列闭合定理和彭赛列六边形

   ○ 一个特例——双心六边形

   ○ 关于四边形的一个重要引理

   ○ 定理的证明

   ○ 逆定理和其应用——彭赛列六边形的一个作法

   ○ 对彭赛列闭合定理更深入的介绍,彭赛列多边形和彭赛列锥线

   ○ 到 N = 6 为止的彭赛列多边形的作法

   ○ 双心四边形和双心六边形的作法

   ○ 精确作图法对于几何探索的价值

   ○ 精确作图实验题

   ○ 实验结果比对,更多惊人的发现

2. 到任意偶边形的推广——超级大猜想

3. 超级大猜想的证明——谢国芳大定理

4. 关于奇边形的相应结论

 

1.  六边形和四边形的情形——谢国芳小定理

帕斯卡(Pascal)定理和布列安桑(Brianchon)定理是关于圆锥曲线的两个基本定理,帕斯卡定理断言,圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线(见图1),其逆定理也同样成立,即如果一个六边形的三组对边的交点共线,则它的六个顶点在一条圆锥曲线上。

图1  帕斯卡定理(Pascal's Theorem

 

布列安桑定理是帕斯卡定理的对偶定理,它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点[1](见图2),其逆定理亦同样成立,即如果一个六边形的三条对角线共点,则它的六条边和一条圆锥曲线相切。

图2  布列安桑定理(Brianchon's Theorem

 

把帕斯卡定理和布列安桑定理合在一起,引发人思考这样一个有趣的问题(不知道之前有没有人想到过这一点呢):

如果一个六边形既外接于一条圆锥曲线,同时其六条边又和另一条圆锥曲线相切,又将有怎样的结论呢?

请读者务必先独立思考这个问题,而且一定要动手用几何画板或其他几何作图软件画几个图(倘若你不会画圆锥曲线,没关系,可以全部用圆代替,试着画出一个既有外接圆又有内切圆的六边形即双心六边形),做一些探索性的实验之后才看下面虚线以下的内容,只有这样你才能切身感受到几何的巨大魅力和下面这个定理的神奇绝妙,匪夷所思:

 

 


定理1 圆锥曲线的谢国芳小定理

若一个六边形的六个顶点在一条圆锥曲线上,六条边和另一条圆锥曲线相切,则它的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点(见下图)。

 

实际上,此处描述的六边形可以称为“彭赛列六边形”,因为它正是满足著名的彭赛列闭合定理(Poncelet's Closure Theorem or Poncelet's porism)的六边形。关于彭赛列闭合定理的一个中文介绍参见

《伟大的彭赛列闭合定理 — The Great Poncelet's Closure Theorem》

英文介绍参见 http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

 

我们于是也可以把定理1等价地表述为:

一个彭赛列六边形的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点。

 

作为定理1的特例,我们有下面这个优美的平面几何定理:[2]  

谢国芳双心六边形定理

一个双心六边形即既有外接圆又有内切圆(或旁切圆)的六边形的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点(见下图)。


思考题

请读者尝试用平面几何方法或者任何其他方法(“不管白猫黑猫,能抓住老鼠就是好猫!”——套用邓小平的一句名言)证明上述定理。

 

为了证明定理1,我们需要下面这个关键的引理:

引理1 谢国芳四边形引理

若一个四边形的四条边和一条圆锥曲线相切[3],则两条对边切点的连线和两条对角线四线共点(见下图)。

该引理揭示了圆锥曲线的另一个重要的基本性质,可以找到很多应用。

思考题

请读者尝试独立自主地证明上述引理。   

 

证明

 

有了引理1,我们就可以完成对定理1的证明了。

 

 

 

完全类似地,应用配极原理和帕斯卡定理的逆定理,可以证明定理1的“逆”:  

定理2 圆锥曲线的谢国芳小定理之逆定理

若一个六边形的六条边和一条圆锥曲线相切,其三条对边切点的连线三线共点,则该六边形的六个顶点必在另一条圆锥曲线上。

  

作为该定理的一个应用,可得“彭赛列六边形”——即六个顶点在一条圆锥曲线上、六条边和另一条圆锥曲线相切的六边形的作法如下:

(1)作一条任意的圆锥曲线,再作它的三条交于一点的弦(见下图)。

(2)过每条弦的两个端点作切线,总共六条切线交成的六边形就是一个“彭赛列六边形”,因为该六边形的六个顶点一定在另一条圆锥曲线上(见下图)。  

 

我们可以把上图中的两条圆锥锥线称为一对“彭赛列锥线”。

鉴于接下来的讨论和彭赛列闭合定理密切相关,下面对该定理作一个更正式的介绍,给出一般的彭赛列锥线和彭赛列多边形的定义。

如上图所示,给定内外两条圆锥曲线(以下简称锥线),从外锥线上的一点A1 出发向内锥线作一条切线 l1 ,它和外锥线交于另一点 A2 ,再从 A2 出发作内锥线的一条切线 l2 ,它和外锥线交于另一点 A3 ,如此不断进行,假如经过 N  步后点 AN+1  和点 A1 重合,我们就说从 A1 出发的切线路径闭合,称以 A1 , A2  , ......, AN 为顶点、以 l1 , l , ......, lN 为边的多边形为一个“彭赛列 N 边形”,称这两条锥线为一对“彭赛列锥线”。

 

著名的彭赛列闭合定理断言,切线路径是否闭合和起始点的选择无关,仅仅由两条锥线决定,假如从外锥线上某点出发的切线路径经过 N 步后闭合,那么从外锥线上任意一点出发的切线路径经过 N 步后都闭合,换句话说,假如在两条锥线之间能够作出一个“彭赛列 N 边形”,那么以外锥线的任意一点为顶点都能作出一个“彭赛列 N 边形”。

下面几个图例演示了彭赛列闭合定理当 N = 3, 4, 5 时的情形:

 

 

彭赛列闭合定理由被誉为射影几何之父的法国数学家冉-维克多-彭赛列(Jean-Victor Poncelet,又译蓬斯莱、彭斯莱或庞斯莱)发现,法国人把该定理称为“le grand théorème de Poncelet”, 翻译成中文即“伟大的彭赛列定理”或“彭赛列大定理”,可见其重要。实际上,它堪称是整个几何中最深刻伟大的定理,这并不是我个人的私见,大数学家像 Richard Schwartz 等就是这么认为的(参见 Dynamiser la géométrie élémentaire - introduction à des travaux de Richard Schwartz 一文),可惜国内对这个伟大的定理介绍极少。

彭赛列本人最早用射影几何方法证明了他的闭合定理。后来该定理又激发了很多大数学家的兴趣,像英国的凯莱(Cayley),法国的勒贝斯格(Lebesgue)等都先后研究过该问题,并给出了切线路径闭合、即两条锥线成为“彭赛列锥线”的条件。雅可比(Jacobi)用他的椭圆函数证明了彭赛列闭合定理,更现代的一个证明用到了代数几何(椭圆曲线)理论。

注意,假如不事先指定两条锥线,那么到 N = 5 为止的彭赛列多边形都是平凡无奇的,不具有任何特殊性质,实际上任意一个五边形都是彭赛列五边形(同样,任意一个三角形都是彭赛列三角形,任意一个四边形都是彭赛列四边形),因为任意给定一个五边形,一定可以作一条锥线过它的五个顶点(而且这样的锥线是唯一的,正如三点定圆,五点决定一条锥线),再作另一条锥线和它的五条边相切(这样的锥线同样唯一),在几何画板里就有作这两种锥线的功能,有兴趣的读者不妨动手一试。

但当 N = 6 时情况发生了质的变化,并不是任意一个六边形都是彭赛列六边形,只有满足下面这两个条件的特殊的六边形才是。

(1)该六边形的六个顶点在一条锥线上,根据帕斯卡定理,这等价于三组对边连线的交点共线(见图1)。

(2)该六边形的六条边和另一条锥线相切,根据布列安桑定理,这等价于三条主对角线共点(见图2)。

怎样精确地作出同时满足这两条的六边形呢?

请读者先独立自主地思考一下这个问题。  

 

前面利用定理2(谢国芳小定理之逆定理),我们已经给出了彭赛列六边形——即同时满足上述条件(1)和(2)的六边形的一种作法,实际上直接从这两个条件出发也可以将它作出。

要一下子同时满足条件(1)和(2)是很难的,但我们不贪求“一步到位”,“饭要一口一口地吃”,我们可以考虑先满足这两个条件中的一个,比如说条件(1),这非常容易,只要任意画一条锥线,然后在上面任意选六个点就行了。接下来,怎样满足条件(2)呢?我们很自然地想到了布列安桑定理的逆定理。

由此我们就得到了彭赛列六边形的另一个作法如下:

(1)作一条任意的锥线,再作它的三条交于一点的弦(见下图)。

(2)以这三条弦的端点为顶点、这三条弦为主对角线的六边形就是一个“彭赛列六边形”,因为它的六条边必定和另一条锥线相切(见下图)。  

  

彭赛列多边形的特例是“双心多边形”——即既有外接圆又有内切圆的多边形,这是当两条锥线全都是圆的特殊情况。

下面给出双心四边形和双心六边形的精确作法。

(一)双心四边形的精确作法

先作一个圆和它的两条互相垂直的弦,然后过这两条弦的四个端点作该圆的四条切线,这四条切线围成的四边形就是一个双心四边形,因为它的四个顶点必定在另一个圆上(见下图)。

二)双心六边形的精确作法

(1)先作一个圆 Σ 和它的一条直径AB,在AB上任取一点P。

(2)以A为圆心、AP为半径作圆交圆 Σ 于点C, D;以B为圆心、BP为半径作圆交圆 Σ 于点E, F。六边形 ACEBFD 就是一个双心六边形,因为它的六条边必定和另一个圆相切(见下图)。

精确地作出彭赛列六边形和双心六边形和四边形对于接下去我们的探索有极大的价值。

有了精确作图法,不但能让我们作出完美无瑕、赏心悦目的几何图形,得到视觉上的美的享受,切身感受到几何的巨大魅力和数学的绝对的真与美。同时,对一个研究者来说更重要的是,它使得我们能进行实验性的探索,直接用眼睛发现隐藏在图形中的真理,迅速地证实或证伪各种猜想。

可以毫不夸张地说,精确作图法在几何探索中的作用和价值就相当于精密实验在物理学、化学等其他自然学科中的作用和价值。

精确作图实验题

Q1.利用几何画板精确地作出一个彭赛列六边形,即六个顶点在一条锥线上、六条边和另一条锥线相切的六边形,再在外锥线上另选一点作出另一个彭赛列六边形,检验彭赛列闭合定理谢国芳小定理(当然,因为彭赛列闭合定理和谢国芳小定理都已经得到严格证明,这实际上是在检验你的作图的精度),应用谢国芳小定理于这两个彭赛列六边形,你有什么样的激动人心的新发现?

Q2.为了检验你所发现的美妙性质对四边形是否也成立,对彭赛列四边形(即四个顶点在一条锥线上、四条边和另一条锥线相切的四边形)重复同样的实验。

Q3.精确地作出两个有相同的外接圆和内切圆的双心六边形,和两个有相同的外接圆和内切圆的双心四边形,除了再次证实上面的发现外,你有额外的美妙的新发现吗?

 

实验结果比对

1.比对 Q1 的实验结果,点击这里 Figure 2.3

2.比对 Q2 的实验结果,点击这里 Figure 2.4

3.比对 Q3 的实验结果,点击这里 Figure 2.5

 

To be continued(à suivre)

 

 注 解

[注1] 本文中的对角线都指主对角线,若六边形的六个顶点记作 A1, A2, A3, A4, A5, A6,则三条(主)对角线为 A1A4, A2A5, A3A6.

[注2] 从表面上看这完全是一个平面几何问题,但笔者觉得用传统的平面几何方法或者解析几何方法是极难甚至几乎是不可能证明的,尽管如此,仍很希望看到这方面的尝试。

若有人取得成功,务请发函至 roixie@163.com 告知,不胜感谢。

[注3] 注意,和五条直线相切的圆锥曲线唯一,和四条直线相切的圆锥曲线有无穷多个,构成带一个参数的曲线族。

[注4] 这三个交点中的一个或三个都可能为无穷远点(若两个为无穷远点,通过这两个无穷远点的直线就是无穷远直线 ,帕斯卡定理保证了第三个交点也在无穷远直线上,即也是一个无穷远点)。

 




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