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圆锥曲线的谢国芳大定理(2)

— 也许是有史以来最伟大和最奇妙的几何定理

    by Guofang Xie                 Email:  roixie@163.com   

目 次

1. 六边形的情形——谢国芳小定理 

2. 超级大猜想——这可能是真的吗?怎样证明呢?

3. 超级大猜想的证明——一个伟大定理的诞生

 

2.  超级大猜想——这可能是真的吗? 怎样证明呢?  

作为定理2的一个应用,我们可以得到彭赛列六边形(即六个顶点在一条圆锥曲线上、六条边和另一条圆锥曲线相切的六边形)的作法如下: [1]

(1)作一条任意的圆锥曲线,再作它的三条交于一点的弦(见下图)。

 

 图 2.1  

(2)过每条弦的两个端点作切线,总共六条切线交成的六边形就是一个彭赛列六边形,因为根据定理2, 它的六个顶点一定在另一条圆锥曲线上(见下图)。  


 图 2.2   

 

能够精确地作出彭赛列六边形对于接下来发现一件更神奇、更美妙的事情具有极大的价值,与之相比,定理1(即谢国芳小定理)仅仅是一个先兆,一个意味深长的暗示,和微微拉开的极小部分的揭示,犹如从一个深埋在地下的巨大宝藏中挖掘出的第一颗宝石。

为了进一步探索和“挖掘”得更深,我们只要让彭赛列闭合定理[2]“出场”(或者说“入局”)就行了 。  

在作出一个彭赛列六边形和与之相关的两条圆锥曲线后,由于彭赛列闭合定理,从外锥线上任意一个新的点出发,通过不断地向内锥线作切线我们可以得到一个新的彭赛列六边形,对于每个这样的六边形我们都可以应用定理1,找到三条对角线和三条对边切点连线的交汇点。

一个有趣的问题是,当六边形的顶点在外锥线上变动时,这个交汇点会如何变化呢?

读者不妨停下来,自己动手用几何画板画图探索一番,然后再往下看(真正动手做过上一节精确作图实验题Q1的读者一定已经知道了答案)。

精确作图的结果表明它是固定不动的(见下图)!

 图 2.3 

这是一个令人称奇叹绝的现象!既令人震惊诧异,又令人兴奋不已。

这个神秘的交汇点到底是个什么样的特殊点,有着怎样的来历呢?(当各顶点在外锥线上运动时,看上去它们似乎是在围绕着它“旋转”。)

究竟是什么原因导致如此众多的线全部交汇到这一点上呢?

相信每一个有那么一点点理智上的好奇心的人都会问这样的问题(爱因斯坦说过,“我们能拥有的最美妙的体验是神秘的体验,它是催生真正的艺术和科学的基本情感。谁要是体会不到它,谁要是再不能感到惊讶,再不能好奇赞叹,就和死了没有什么两样……”——摘自拙译爱因斯坦的散文《我的世界观》),请读者务必先独立思索,放飞想象力的翅膀,进行自由的推测和大胆的假想,提出可能的解释(爱因斯坦还说过:“想象力比知识更重要!”),谜底将会在后文揭晓。

此时此刻,整个事情似乎是一个令人费解、深不可测的谜团,但从审视图2.3我们可以得出一个肯定的结论,那就是,这个神秘的点实际上只取决于两条圆锥曲线,换言之,它完全是由两条圆锥曲线的相对位置决定的(虽然我们是通过在这两个圆锥曲线之间作出一个特定的彭塞列六边形才发现它的,但它和我们选择的六边形的位置无关)。

顺着这一思路思考,我们很快就会意识到,数字六(对应于六边形)在这个问题中并不是本质的,如果该交汇点仅仅由两条圆锥曲线决定,那么同样的现象也会在其它偶数边的多边形中发生,如四边形,八边形,十边形等等。

精确的作图完全证实了我们的猜想(见下面各图)。

 图 2.4 

 

此外,当两条圆锥曲线是两个圆时(这时候的彭赛列多边形就是双心多边形,即既有外接圆又有内切圆的多边形),我们还观察到交汇点和两个圆的圆心三点共线(见下面各图)。


 图 2.5   两个双心四边形[3] ( O1 , O2 分别是内切圆和外接圆的圆心 )

图 2.6   两个双心六边形[4] ( O1 , O2 分别是外接圆和内切圆的圆心 )



 图 2.7   两个双心八边形 (中央的两个点分别是外接圆和内切圆的圆心)


 图 2.8   两个双心八角星 (中间的绿点和黄点分别是内切圆和外接圆的圆心)


 图 2.9   两个双心十角星 (中央的红点和绿点分别是外接圆和内切圆的圆心)

 

受如此完美的验证的鼓舞,我们很自然地引发如下大胆的猜想:

超级大猜想

如果一个偶数边的多边形的顶点在一条圆锥曲线上,各条边和另一条圆锥曲线相切,那么它的所有主对角线和所有对边切点的连线全都交于一点,而且该交点的位置仅仅由两条圆锥曲线决定。

(补充)当上述的两条圆锥曲线为两个圆时,该交点位于两圆圆心的连线上。

毫无疑问,这绝对是一个令人目瞪口呆、头眩神移的惊天大猜想,一旦得到证明,无疑将被列为有史以来最伟大的几何定理之一,足可与彭赛列闭合定理相比肩,甚或有过之而无不及。(彭赛列本人在发现以他的名字命名的定理后错失了它实在是令人惊讶的。)

幸之又幸,奇而更奇的是,这一极度大胆的猜想竟然是千真万确的,经过不懈的努力本作者已经找到了一个绝妙的证明,从基本思想上讲,它甚至比一个特殊情形即六边形的情形——定理1(谢国芳小定理)的证明还要来得简单和易于理解。定理1的证明用到了比较高深的射影几何的知识(如配极原理),恐怕是一般的非数学专业的人陌生的,但该证明的核心思想一旦说破,却是任何一个初中生都能明白的,虽然具体的技术细节比较复杂。我们将在下一节详细地讲述整个证明。

笔者是在对该猜想的正确性坚信不疑后才开始认真地探求证明之道的,这种坚信一部分固然源自对数学内在的简单、统一、和谐与至真、至善、至美的信仰,但最主要还是来自于一次又一次的精确作图获得的毫发不爽的实验性支持。有了精确作图法,我们不但能作出完美无瑕、赏心悦目的几何图形,得到视觉上的美的享受,切身感受到几何的巨大魅力和数学的绝对的真与美,同时,对一个研究者来说更重要的是,能进行实验性的探索,直接用眼睛发现隐藏在图形中的真理,迅速地证实或证伪各种猜想。可以毫不夸张地说,精确作图在几何探索中的作用和价值就相当于精密实验在物理学、化学等自然科学中的作用和价值。

这里再补充一点,上面的图是用几何画板(一个最流行的几何绘图软件)作出的,在几何画板中还有测量角度和距离的功能,为了判定三个点是否严格共线即在一条直线上,我们只要量一下角度就行了。结果发现,只要图是绝对精确的,所有检验共线性的角度测量都毫发不爽等于180°,精度高达百万分之一度(几何画板允许最高的精度,见下图的一个示例)。在其他学科像物理学和化学中,这就足以让人对一个理论或假说(本质上即猜想)的正确性确信不疑,铁板钉钉地将它确立为一个定律了,然而在数学中,要把我们上面的超级大猜想提升为一个定理,光有精确作图验证是不够的,我们必须证明它。

 

 图 2.10   所有角度测量都证实了严格的共线性

但我们该怎样着手证明呢?亲爱的读者,你可知计将安出?路在何方?

乍一看,要证明这样一个涉及所有偶数边的多边形的如此一般的命题简直比登天还难,一千多年前,李白描绘入蜀之难的夸张之辞“噫吁嘻!危乎高哉!蜀道之难,难于上青天……”转来形容证明我们的超级大猜想之困难是最形象贴切、一点也不夸张的。

因为我们在上一节看到,单单是证明它的一个特殊情形——六边形的情形即定理1已经是一件相当不容易的事情,可以说是一项凭籍射影几何中的三把利剑之合力才完成的伟业,这三把利剑就是帕斯卡定理、布列安桑定理和配极原理。但要对付任意偶数边的多边形它们显然都是无能为力的(帕斯卡定理和布列安桑定理都只是针对六边形的,四边形尚可以作为退化的六边形处理,但对于八边形、十边形等则根本没有相应的论断),即便局限于六边形的情形,要证明交汇点仅仅由两条圆锥曲线决定也已是它们力不能及的。

因此,我们必须寻找新的方法、新的思想,更重要的是,我们必须找出导致这一神秘现象的根本原因,对为什么如此众多的线会交汇于一点作出解释,而不是仅仅验证事实的正确性。由于规律是如此的简单统一(从上面的各个精确作图看起来,同样的事情似乎发生在所有偶数边的多边形中),我们有足够的理由推测,一定有某个普遍的原理在这里起作用,找到它就找到了解开整个谜团的钥匙。

幸运的是,这一合理的推测(用英文说是 educated guess)又一次被证实了,正如在数学中和大自然中常常发生的那样,在本问题背后的确隐藏着这样一个普遍原理,一旦发现了它,你也就发现了证明的路径。虽然实际的证明过程很长,涉及到很多既深且广的数学(我们最终所证明的超级大定理的美和深刻正在于此,它充分揭示了整个数学世界的美妙的统一与和谐),但其主要思想是如此简单和自然,一旦想到后,一切都在刹那间变得豁然开朗,清澈见底。

 

灵感来自于……,且慢!我真不想就这么直接轻率地说出证明的灵感,对我来说,它是冥思苦想后的灵光闪现,是百折千回后的大彻大悟,是从天山雪峰上亲手采摘下来的灵芝仙葩,我很怕读者 take it lightly, take it for granted, 轻轻淡淡,不懂份量,不加思索地接受它,就像接受教科书中的一个现成的僵死的冷冰冰的结论。正如不曾亲自下田耕耘、只会张口吃饭的人绝不能懂得粮食的宝贵,也绝对体会不到收获的喜悦,不曾用自己的头脑思考求索一番的人也绝不能懂得我即将说出的奇思妙解之宝贵,体会不到发现它时的那种无限的欢喜和激动,这种令人陶醉的无比强烈的快乐英语里面有一个十分美妙的词形容,那就是 Ecstacy. Blessed are those who have tasted it! 它是上苍对有心人的仁慈的恩赐,是缪斯女神对其追慕者的最高奖赏。“此乐只应天上有,人间难得几回尝!” 我实在不愿意读者无条件地失掉亲身体验它的机会,从心底里我希望——甚或可以说盼望——每一位对本问题真正感兴趣的读者也能亲自探索一番,也有缘品尝这等平生难得几回尝的智力上的狂喜和极乐。  

故而在此我要郑重地敦促读者,请暂时停止被动式的阅读,开始独立地认真地思考如何证明上述的超级大猜想,不必拘泥于具体细节和严格性,只要想出一个基本思想和总体方略即可。至少想一天,一天之后,倘若你有了一个想法then Congratulations! 不管这个想法是不是对头,能不能实现,它都是弥足珍贵的,Because it is Your Brainchild! and a mark of Your Creativity, which is the most precious intellectual quality! 假如一天之后你一无所获,一筹莫展,昏昏然茫茫然一如昨日,你也不必因此而感到沮丧,因为你的心田经过耕耘已经成为吸收外来思想的最佳土壤。

人们大多不珍惜自己没有需求时人家免费送上的东西,那些胡乱派发见人就塞的广告和宣传纸张,无论制作多么精良,大抵只会落得被随手丢弃的下场。同样道理,在追求知识和真理的道路上,倘若自己心里并没有产生任何"内需",单纯地从外往里填塞效率是极为低下的,即使勉强接受了,也好比是强安上去的假肢,并不能真正为你所有,为你所用。 只有当你苦苦求索不得,内心深处困惑烦恼不已,强烈地渴望知道答案的时候,你才会如饥似渴地拥抱真知卓识,像久旱的大地吸收雨水一样吸收它,感念它,正如只有口干舌燥时你才知道水的宝贵,饥肠辘辘时方能吃出米饭的香甜。  

 


 

 

To be continued(à suivre)

 注 解

[1] 请注意,彭赛列六边形是第一个其作图成为问题的彭赛列多边形。假如不事先指定两条圆锥曲线,那么彭赛列三角形、四边形和五边形都是平凡无奇的,可以很容易地作出,因为给定一个一般的五边形,总可以作出一条通过其五个顶点的圆锥曲线(这样的圆锥曲线是唯一的)和另一条和其五条边相切的圆锥曲线(这样的圆锥曲线也唯一),而对于三角形和四边形,这样的圆锥曲线是无限多的。

[3] 关于双心四边形的精确作法,点击这里

[4] 关于双心六边形的精确作法,点击这里

 




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