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伟大的彭赛列闭合定理 (1)

— The Great Poncelet's Closure Theorem

谢国芳(Roy Xie)

      Email:  roixie@163.com  

目 录

1. 导论和定理的陈述

2. N = 3 的特殊情形

3. 一般情形的证明 

 

1.  导论和定理的陈述

彭赛列闭合定理(Poncelet's closure theorem)是几何中一个奇绝神妙的定理,它是法国数学家彭赛列(Jean-Victor Poncelet, 1788 - 1867)发现的,法国人骄傲地称之为“le grand théorème de Poncelet(直译成英语是“the great theorem of Poncelet”),翻译成中文即“伟大的彭赛列定理”。

我们可以这样形象地描述这个定理:

平面上有两个圆,一个圆在另一个圆的内部[1],设想在外圆上有一只跳蚤,它从某点出发,每次沿着向内圆作出的一条切线跳到外圆上的一个新的点[2],如果经过 N 次跳跃后它回到了起点,我们就说它的路径闭合。彭赛列的定理断言,跳蚤的路径是否闭合和它的起始位置无关,也就是说,假设它从外圆上某点出发经过 N 次跳跃后回到起点,那么它从外圆上任意一点出发经过 N 次跳跃后也一定回到起点(参见下面各图)




 

这无疑是一个令人惊叹咂舌的定理,说它“伟大”是一点也不过分的。

 

2. N = 3 的特殊情形

彭赛列闭合定理最简单的情形,即 N = 3 的情形也可以这样表述:

命题1 从三角形 ABC 的外接圆上任意一点 P 作内切圆的两条切线,设它们分别交外接圆于点 Q 和 R,则 QR 也是内切圆的切线(如下图)。


这本身就是一道非常漂亮的、极富挑战性的几何题。

思考题

尝试用几何方法或者任何其他方法(“不管白猫黑猫,能抓住老鼠就是好猫!”——套用邓小平的一句名言)证明命题1。

 

曾经在2011年第六期的《数学通报》中看到一篇题为“圆内圆与圆外圆”的文章,该文给出了命题1的一个解析几何证法,其计算之繁复笨重冗长,真的是到了令人作呕的地步,如果说看优美的数学图形和公式是一种享受,那么看这种丑陋的证明简直是受罪。

看了这篇文章后心里十分难受,后来就自己动手研究这个问题,结果找到了一种相对简明得多的代数证法,但几何证法却一直没有灵感,渺不可寻。

→ 参见拙文 “也论三角形的外接圆、内切圆和旁切圆(1)”  

 

一个这么漂亮的平面几何问题找不到几何证法实在是让人郁闷和深感遗憾的,于是后来就在东方数学论坛上发了一个主题为 “寻求一个美妙定理的几何证明” 的帖子,从网友的回复中得知该题曾被选为2009年中国第六届东南地区数学奥林匹克竞赛第六题,进而又上网搜索,终于在百度文库的解答中看到了一个几何证明(但实际上它也不能称为一个纯几何证法,因为也要部分地依赖于代数计算)。   

→ 参见百度文库 “2009年中国第六届东南地区数学奥林匹克竞赛试题及解答”  

 

后来又在百度文库中看到了湖南省沅江市第一中学王习波同学(或老师)给出的一个几何证明(实际上它也不能称为一个纯几何证法,因为也相当程度地依赖于代数计算,但理想中的轻灵飘逸、美轮美奂的几何证法也许根本就不存在,聊胜于无,他的证明总是可喜可贺的),他应该是看到了一年多前我在我的博客(说来惭愧,自从有了个人网站,我差不多把我的博客废弃了,为了不让它完全报废,偶尔还去光顾一下)中对这个问题的“悬赏征解”吧:

 

奖品是拙著《解密英语——学外语从零点到绝顶的最速路径》一本,该书在书店和网上都已售罄 (亚马逊书店已把该书列为收藏品,售价66元),唯我手头尚有存货,在看到王习波的证明后,为了兑现自己的诺言,已郑重其事地跑去邮局将一册赠书寄出,但愿他已经收到了吧。  

王习波的证明参见百度文库 “关于谢国芳先生有奖征求平面几何证明题的证明”  

 

令人意想不到的是,时隔四年之后,该“悬赏征解”问题最终有了一个圆满可喜的结局。2015年国庆节前夕,意外地收到天津市耀华中学韩晓铮同学的来信,说他找到了一个十分简洁的纯几何证明。

 

韩晓铮的来信:

 

韩晓铮的证明:

 

 

站长的回信

韩晓峥同学你好!

你的来信和证明让我喜出望外,惊叹不已。祝贺你攻克了这道难题,也让我得偿了一个多年前的宿愿。

这道题实际上是著名的彭赛列闭合定理(Poncelet's closure theorem)当 N = 3、即三角形时的特殊情形。1813年,彭塞列在俄国的监狱里发现了以他的名字命名的这个神奇的定理(1812年,彭塞列随拿破仑大军入侵俄国,拿破仑兵败后被俄军俘虏),两百多年来,这个奇绝神妙的几何定理曾令“无数英雄竞折腰”,很多大数学家如雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi)、凯莱(Arthur Cayley)、勒贝格(Henri Lebesgue)等都研究过它,各逞其才,尝试用不同的方法证明它。迄今为止数学家们已经找到了多种证明方法。但令人遗憾的是,这些证明大多需要使用比较高深的数学工具(最现代的一种用到了椭圆曲线),据我所知没有一个是纯几何的证明。

今天,对于彭赛列闭合定理的三角形情形,你给出了一个非常干净利落、简洁优美、让人赏心悦目的纯几何证明,这是多么让人高兴和振奋啊!在我所知道的所有证明中,你的证明无疑是最棒的一个。

I dare say, in the words of Erdos, the proof you found is most likely the proof from the Book.

说实话,四年多前我悬赏这个问题的时候,心里一面十分渴望能找到一个优美的纯几何证明,一面又隐隐感到悲观,觉得这是不大可能的事情(虽然也不能断定一定不可能,但总觉得希望非常渺茫)。今天,你用你的天才证明了我当年的悲观是错误的,人类理智的神力是无边的!

In mathematics, one can truly say, “Nothing is impossible.”

你的证明的另一个可贵之处是它的普遍性——它对任意二条圆锥曲线都成立,从而也揭示了这是一个本质上属于射影几何的定理。(而无论是王习波的证明还是百度文库中的那个证明,都只适用于圆,无法推广到其他圆锥曲线。)

真所谓“自古英雄出少年”,看得出你有很高的数学天赋,希望你能有志于数学,从小志存高远,前程当不可估量。

我会兑现我“悬赏征解”时的承诺,去邮局给你寄拙著《解密英语——学外语从零点到绝顶的最速路径》一册,聊表感谢慰劳和鼓励,希望对你学好英语或其他外语有所助益。

All my best wishes!

谢国芳  

 

 关于彭赛列定理更多的内容,参见

《圆锥曲线的谢国芳小定理》 一文中的“对彭赛列闭合定理更深入的介绍,彭赛列多边形和彭赛列锥线”   

……

未完待续(to be continued)

 

 注 解

[注1] 这只是为了叙述方便所作的假设,实际上两个圆也可以相交或相离,而且两个圆也可以被两条一般的圆锥曲线(如两个椭圆)取代。

[注2] 但不能回头跳。注意从外圆上任意一点可以作内圆的两条切线,第一次跳跃可以选择其中任何一条切线,但后续的跳跃就只能选择一条了(因为不能回头跳)。



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