网站首页 (Homepage) 欢   迎   访   问  谢  国  芳 (Roy  Xie) 的  个  人  主  页
Welcome to Roy Xie's Homepage
返回 (Return)

 

从奇数和偶数谈起 (1)

— A Friendly Introduction to Modular Arithmetic

谢国芳(Roy Xie)                       Email:  roixie@163.com   

章节目录

1. 小小奇偶性用处大

2. 关于奇数和偶数概念更深入的思考

3. 奇数和偶数概念的推广——模 N 的剩余类 

 

1.  小小奇偶性用处大

众所周知,整数分为奇数(odd number)和偶数(even number)。

偶数俗称“双数”,顾名思义就是成双的数,如 2, 4, 6, 8, 10, 12 等,这是完全不懂数学的妇孺也知道的。

但我们还是用典雅而准确的数学语言给偶数下个定义吧:

偶数是能被 2 整除的整数。根据此定义,偶数也包括 0 和负偶数(-2, -4, -6, -8 ,......)。

奇数俗称“单数”,用数学语言说,奇数是被 2 除余 1 的整数,包括正奇数(1, 3, 5, 7, 9, 11, ......)和负奇数(-1, -3, -5, -7, ......)。

偶数一般地可以表示为 2n 的形式(n为任意整数,以下的英文字母均代表整数,不再一一注明),奇数可以表示为 2n + 1 的形式。

关于偶数和奇数,显然有下面的运算法则:

偶数 + 偶数  =  偶数,            偶数 + 奇数  =  奇数,            奇数 + 奇数  =  偶数,

 偶数 × 偶数  =  偶数,            偶数 × 奇数  =  偶数,             奇数 × 奇数  =  奇数

奇数和偶数这两个概念看上去非常简单,但用处却很大,有道是“大道至简”(请思考奇数和偶数概念背后的“道”或者说根本原理是什么,倘若你能透过表象而悟“道”,就能将它弘扬光大,把它的能量效用发挥到极致。→ 参见 2. 关于奇数和偶数概念更深入的思考,数学中一些貌似极其简单朴素的概念常常有意想不到的巨大威力,能导出非常深刻的结果,这也正是数学的一大魅力所在,和引人入胜、耐人寻味之处。

下面我们就先来看几个例子,切身感受一下奇偶性概念的“威力”。

例1  证明2 不是有理数,即它不可能等于两个整数的比。

证明(反证法):假设2 是有理数,即它等于两个整数 m, n  的比:

 

   

我们可以设  m, n  没有大于 1 的公因子[1],上式两边平方后得到

 m2  =  2n2

由此可知 m 是偶数(请想一下为什么?[2]),设  m = 2k,  代入上式得

 n2  =  2k2

由此又可知 n  是偶数, 于是  m, n  有公因子 2,这与已知  m, n  没有大于 1 的公因子矛盾,因此原假设不真,即2 不是有理数。

 

这无疑是一个绝妙的证明,如果你第一次见到,一定会被它倾倒,啧啧称奇,赞叹不已。用如此简单的方法,证明了一个异常深刻的结果——存在不能表示为整数之比的量也就是无理数,真可以说是“四两拨动了千斤”,“赤手缚住了苍龙”!

不知道是谁最早想出了这个证明(数学中的很多发现,说破了非常简单,但第一个想到是很不容易的,绝对称得上是天才的发现,这是数学的又一大魅力所在吧)。根据梁宗巨先生的《世界数学通史》,该√2 无理性的“奇偶证法”最早见于亚里斯多德的著作《前分析》(Prior Analytics),后来有人把它添加到了欧几里德的《几何原本》中(第十卷命题117)。

发现无理数是数学史上的一个大事件。古希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)和他的弟子们最早创造了一整套完备的数的理论,但他们所谓的数,只是自然数和分数(即自然数的比),也就是今天我们所说的(正)有理数。相应地,在几何上,他们认为所有线段的长度都是可以“公度的”(commensurable),即任意给定两条线段,一定可以找到某个适当的长度单位(它可以无限小),用它来测量,这两条线段的长度都是整数[3],他们认为这是天经地义的公理,据此上可以分析天体的运动,下可以解释音乐的和声,难怪乎作为教主的毕达哥拉斯要慨然发出“万物皆数”、“数统治着宇宙”的感叹了。可是,“祸起萧墙之内”,谁曾料,“祸根”偏偏就埋在让毕达哥拉斯无比自豪的、曾宰杀了一百头牛庆祝的毕达哥拉斯定理(这是西方数学界的叫法,中国叫勾股定理,日本叫“三平方定理”)中:

根据毕达哥拉斯定理即勾股定理,如果一个正方形的边长等于1, 那么它的对角线的长度的平方一定等于2,于是对角线的长度一定等于 2 的平方根即√2(参见下图),上面我们已经证明了它不可能等于两个整数的比,这也就意味着正方形的对角线和边长是不可公度的!毕达哥拉斯学派内部的一个叫希帕索斯(Hippasus)的人最早发现了这一惊人的事实(他是通过几何方法发现的,用的大概是辗转相除法,我们将另文专述),这一发现从根本上动摇了毕达哥拉斯学派的理论体系,令毕达哥拉斯的徒子徒孙们大为震惊和惶恐,他们没有办法解决由此引发的理论危机,只好竭力地隐瞒这个秘密。为了防止泄密,他们后来把希帕索斯推到大海里淹死了。可是,人可以杀掉,但存在无理数即不可公度的几何量的事实却是无法抹杀的。

下面给出另一种作者原创的证明2 是无理数的方法,它同样用到了奇偶性。

证法2:假设2 是有理数,即存在整数 m, n 使得

设  m = 2rp, n = 2sq,  p, q  为奇数,代入上式得

 22r p2   =  22s + 1  q2 

因为 p, q 为奇数,上式两边 2 的指数必须相等[4],但上式左边 2 的指数 2r 为偶数,而右边 2 的指数 2s +1为奇数,它们不可能相等,故原假设不真,即2 是无理数。

 

思考题

1. 试用类似的方法证明√3,√5,√6,√7 是无理数。

2. 更一般地,对于任意质数 p, 证明√p 是无理数。

3. 给出判别√n 是有理数还是无理数的依据,并给予证明。

 


例2  一些质数能表示为两个平方数之和,例如:

2 = 12 + 12,     5 = 22 + 12,     13 = 32 + 22,     17 = 42 + 12,     29 = 52 + 22,    37 = 62 + 12, .....

但另一些质数如 3, 7, 11 等则不能表示为两个平方数之和。

试证明,除了 2 之外,一个质数能表示为两个平方数之和的必要条件是它被 4 除的余数等于 1,即它是形如 4n + 1 的质数(等价地说,凡是被 4 除余 3 的质数即形如 4n + 3 的质数如 3, 7, 11,19, 23 等都不能表示为两个平方数之和)。

         

证明

 

注:实际上,上述必要条件也是充分条件,即凡是被 4 除余数等于 1 的质数都能表示为两个平方数之和,这就是著名的费马两平方和定理

→ 参见《漫话平方和 — Exploring Sums of Squares》

 

 


例3  称满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 (a, b, c) 为勾股数(由勾股定理可知这样的三个数恰好能构成直角三角形的三条边),若 a, b, c 没有大于 1 的公因子,则称之为既约勾股数。

         

例如(3, 4, 5),(5, 12, 13)都是既约勾股数,而(6, 8, 10)是非既约的勾股数,因为 6, 8, 10 有公因子 2,将它约去后即得既约勾股数(3, 4, 5)。

显然,既约勾股数是基本的或者说本原的勾股数,只要将其三个数同乘以任意一个数就能得到所有的勾股数。

下表给出了一些较小的既约勾股数,更多例子可参见《从勾股定理到费马大定理》一文中的表2(由勾股数第一公式生成的既约勾股数)表4(由勾股数第二公式生成的既约勾股数)

 

a b
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
11 60 61
13 84 85
15 8 17
21 20 29
33 56 65
...... ...... ......

 

设 (a, b, c) 为既约勾股数,试证明

(1) c 必定为奇数,a, b 必定为一奇一偶.  

(2)  a, b 中必定有一个是 3 的倍数.  

(3)  a, b, c 中必定有一个是 5 的倍数.   

 

 

2. 关于奇数和偶数概念更深入的思考

从本质上看,奇数和偶数是以 2 为单位,通俗地说即根据“两个两个数”的结果对整数的分类(“两个两个数”刚好数尽就是偶数,“两个两个数”余1就是奇数),那么,为什么我们不用 3, 4, 5 为单位,即根据“三个三个数”、“四个四个数”、“五个五个数”的结果对整数进行分类呢?

更一般地,倘若我们用任意的 N 为单位,即根据“N 个 N 个数”的结果对整数进行分类,会得到怎样的结果呢?

 

如果仅仅以 2 为单位的分类即将整数分成奇数和偶数就有如此巨大的威力(如上面各个例子所见),那么,当我们考虑以任意的正整数 N 为单位对整数进行分类,其威力又将增大不知多少倍呢!你有没有思考过这个问题?为什么不呢?

一个多么美妙的想法!多么诱人的远大前景!

 

 

 

To be continued(à suivre)

 

 注 解

[注1] 若不然,可以对分数 m/n 进行约分,即分子分母同除以 m,n 的最大公因子。

[注2] 假设 m 是奇数,则 m2 也是奇数(因为奇数的平方是奇数),但由 m2 = 2n2 可知 m2 是偶数,得出矛盾。

[注3] 换句话说,任何两条线段的长度比都等于两个整数之比。

[注4] 倘若两边 2 的指数不相等,设较小的指数是 t,两边同除以 2t 后,我们就会看到等式的一边是偶数,另一边是奇数,这显然是荒谬的。