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从勾股定理到费马大定理 (2)

—— From Pythagorean Theorem to Fermat's Last Theorem
 

      谢国芳(Roy Xie)                               Email:  roixie@163.com   

章节目录

1. 勾股定理和勾股数

  1.1 用算术分析方法寻找勾股数的公式(勾股数第一公式)

  1.2 用解析几何方法寻找勾股数的公式(勾股数第二公式)

2. 从勾股数到高斯整数

3. 费马的猜想——费马大定理的诞生

 

1.2 用解析几何方法寻找勾股数的公式

在正式展开讨论之前,我们先拓展一下勾股数的定义。

回忆在上一节中,我们把勾股数定义为满足方程 a2 + b2 = c2 的三个正整数(a, b, c),在本节中,为了讨论方便,我们也允许 a, b, c 取负整数和 0,为了区别,改称之为“毕氏数”

定义1  称除(0, 0, 0)外的满足方程 a2 + b2 = c2 的三个整数(a, b, c)为毕达哥拉斯整数组,简称毕氏数。

例如,(1,0,1),(-1,0,1),(3,4,5),(-3,4,5)都是毕氏数。 

正如把自然数拓展为整数方便了很多问题的处理一样,把局限于正整数范围的勾股数拓展为整数范围的毕氏数,也有同样的好处。 

言归正传,寻找毕氏数(勾股数)等于要寻找方程 a2 + b2 = c2 的整数解。

还记得吗?上一节我们讲过数学中解决问题的一个基本思想和普遍原则(我们可以称之为“转化原则”)

倘若你对原问题无计可施,尝试改变问题的形式,不断地将它转化成(等价的)新问题,直到能找到“突破口”或“切入点”为止。

 

下面,我们将用另一种方法来实现问题的转化。方程 a2 + b2 = c2 两边同除以 c,我们得到

x = a/c, y = b/c,它又可以化为

 

这让你联想到了什么?(如果你学过解析几何,一定会想起来.)

对!圆的方程!准确地说是单位圆——以原点为圆心,半径等于1的圆,数组(x, y)正是圆上的点的坐标,如下图所示:

 

a, b, c 为整数意味着 x ,y 都是整数的比即都为有理数(x = a/c, y = b/c)。

我们可以把坐标平面上 x 坐标和 y 坐标都为有理数的点称为“有理点”

这样一来,原先我们要解决的求方程 a2 + b2 = c2 整数解的问题,就转化成了寻找单位圆 x2 + y2 = 1 上的有理点的问题!

下面我们来更细致地确认这两者的等价性:

找到了一组毕氏数(a, b, c),也就找到了单位圆上的一个有理点(a/c,b/c)。

反之,如果找到了一个单位圆上的有理点(x, y),因为 x, y 是有理数,我们可以把它们表示为两个分数:

x = q/p,    y = s/r

p ≠ r,我们可以进行通分,即将它们化为分母相同的分数

x = q/p = a/c,    y = s/r = b/c

点(x, y)在单位圆上意味着 x, y 满足方程 x2 + y2 = 1 ,将上式代入即得 (a/c)2 + (b/c)2 = 1, a2 + b2 = c2,即(a, b, c)为毕氏数。[1]

 

你可能会说,我看出来寻找毕氏数和寻找单位圆上的有理点是一回事,但我看不出转化后的新问题比原问题哪里更简单了,好像还更复杂了哩!—— 从原先的求整数解变成了求有理数解![2] 整数人人都知道,但谁又能看出圆上的有理点呢?(的确,一个点的坐标是不是有理数,肉眼是完全不能分辨的,最精密的作图工具也无法分辨.)

把问题作这样转化的好处在于,对原问题 (即求方程 a2 + b2 = c2 的整数解)我们无计可施,想不出什么招[3] ,但对这个新问题(即求方程 x2 + y2 = 1 的有理数解,或者说求单位圆上的有理点)我们却有计可施,有招可用,有一个很好的想法。

我们的想法是这样的(想到这一点的确需要一定的灵感闪现,但从根本上说这并不是奇思怪想,而是非常自然的、具有普遍性的思想):

 思考题

假设我们已经在单位圆上找到了一个或两个有理点(实际上,我们的确知道一些单位圆上平凡的有理点,例如(1, 0), ( -1, 0 ),还有(3/5, 4/5)),可不可以利用它“生成”新的有理点呢?

 

俗话说得好,“有志者事竟成”(Where there is a will , there is a way),在数学中,我们可以说,“有想法就有办法”(When you have an idea, you'll find a way),怕就怕没有想法(There is nothing worse than "have no idea")。

 

利用已知有理点“生成”新有理点的最简单的方法是这样的(参见图2):

取好一个已知的有理点 Q,假设我们找到了一个新的有理点 P,连接P, Q 得到一条直线 l,我们知道它的斜率 k  一定是有理数,因为

P, Q 都是有理点意味着 xP, yP, xQ, yQ 都是有理数,所以 k 也是有理数。

图2

现在,反过来,如果我们过已知的有理点 Q 随便作一条斜率等于有理数的直线 l,设它和单位圆交于另一点 P,那么 P 点是不是一定是有理点呢?[6]

如果是的话,Bingo! That's it! Problem solved!

 

点 P 到底是不是有理点是很容易通过简单的计算验证的,所以就让我们动手算吧!

我们可以随便选一个单位圆上已知的有理点 Q, 最方便的点是(-1, 0),过该点斜率等于 k 的直线方程为

y = k(x+1)

欲求它和单位圆 x2 + y2 = 1 的交点,我们只要解联立方程

     

将方程(2)代入(1)我们得到

 x2 + k2(x+1)2 = 1

展开整理后即得到下面这个关于 x 的二次方程:

(k2+1)x2 + 2k2x + (k2-1) = 0

其判别式 Δ = b2 - 4ac = (2k2)2 - 4(k2+1)(k2-1) = 4,二次方程的求根公式解得(用十字相乘法更简捷些)

 

即 

代入直线方程(2),得

  

我们于是求出了直线 l 和单位圆的两个交点:(x1, y1)=(-1,0)是已知有理点 Q 的坐标,

                                      (3)

正是我们要求的 P 点的坐标,显然,当 k 为有理数时, 都为有理数,即 P 点为有理点。

我们的猜想被证实了!每次在式(3)中代入一个新的有理数 k,我们就得到一个新的有理点,当 k 取遍所有的有理数时,我们就得到了单位圆上所有的有理点(只有一个点除外,请问是哪一个点?).[8]

 因为 k 是有理数,我们可以设 k = q/p, p,q 为互质的整数[9],代入式(3)得

,  

和该有理点对应的一个毕氏数显然是

若只考虑勾股数即正的毕氏数,那么只要限定 0 < k < 1 即 0 < q < p 即可, 于是我们就得到如下的勾股数公式:

          ,    其中 p,q 为两个互质的正整数且 p>q.       (2-4)

 

关于该公式需要注意以下两点:

一. 公式(2-4)产生的勾股数可能是非既约的,需约去最大公因子后才能得到相应的既约勾股数

二. 公式(2-4)产生的勾股数的前两个数的次序是不固定的,在约去最大公因子得到既约勾股数后,同一组既约勾股数会出现两次(交换前两个数的次序),具体例子可参见下表。

 

          表3   由 公式(2-4)生成的勾股数  (括号中为相应的既约勾股数)

p q a  = p2 - q2 b = 2pq c  =  p2 + q2
8 (4)  6 (3)  10  (5)
15  17 
24 (12) 10 (5)  26 (13)
6 1 35 12 37
7 1 48 (24) 14 (7) 50 (25)
8 1 63 16 65
9 1 80 (40) 18 (9) 82 (41)
10 1 99 20 101
12  13 
5 2 21 20 29
7 2 45 28 53
9 2 77 36 85
3 7 24 25
5 3 16 (8) 30 (15) 34 (17)
7 3 40 (20) 42 (21) 58 (29)
8 3 55 48 73
10 3  91 60 109 
5 4 9 40 41
7 4 33 56 65
9 4 65 72 97
6 5 11 60 61
7 5 24 (12) 70 (35) 74 (37)
8 5 39 80 89
9 5 56 (28) 90 (45) 106 (53)
7 6 13 84 85
8 7 15 112 113
9 7 32 (16) 126 (63) 130 (65)
10 7 51 140 149
9 8 17 144 145
10 9 19 180 181
...... ...... ...... ...... ......

 

 思考题:   仔细观察上表,你发现了什么规律?   

   

 

 

 

 

从上表我们可以发现如下的规律:

一、当 p, q 为两个互质的奇数时,勾股数p2 - q2,  2pq,  p2 + q2是可约的,且最大公因子总是等于2,即相应的既约勾股数为((p2 - q2) /2,   pq, (p2 + q2) /2 ),想起来了吗?除了前两个数交换了一下次序外[10],这正是我们上一节得到的勾股数第一公式

(勾股数第一公式) 任何一个既约勾股数都可以表示为

 其中 p, q 为两个互质的奇数且 p > q > 0.       

二、当 p, q 为两个互质的奇偶性相反的数时,勾股数p2 - q2,  2pq,  p2 + q2是既约的,而且可以证明每一个既约勾股数都可以表示为这一形式,所以我们又有如下的既约勾股数公式:

(勾股数第二公式) 任何一个既约勾股数都可以表示为

          m2 - n2,  2mn,  m2 + n2,  其中 m, n 为两个互质的一奇一偶的正整数且 m > n.    

注意为了和勾股数第一公式中的参数 p, q 相区别,我们把勾股数第二公式中的参数改成了 m, n .

 

三、上面的这两个勾股数公式是等价的,只要作参数变换

就可以从勾股数第一公式推导出勾股数第二公式,同样,只要作上述变换的逆变换

就从勾股数第二公式得到了勾股数第一公式。

 

          表4     由勾股数第二公式生成的既约勾股数  

m n a = m2 - n2 b  = 2mn c  =  m2 + n2
15  17 
6 1 35 12 37
8 1 63 16 65
10 1 99 20 101
12  13 
5 2 21 20 29
7 2 45 28 53
9 2 77 36 85
3 7 24 25
8 3 55 48 73
10 3  91 60 109 
5 4 9 40 41
7 4 33 56 65
9 4 65 72 97
6 5 11 60 61
8 5 39 80 89
7 6 13 84 85
8 7 15 112 113
10 7 51 140 149
9 8 17 144 145
10 9 19 180 181
...... ...... ...... ...... ......



 注 解

[注1] 注意,和单位圆上一个有理点对应的其实不止一组毕氏数,而是无穷多组。因为所有满足 a : b : c = a' : b' : c' 的毕氏数(a, b, c)和(a', b', c')都对应于单位圆上的同一个有理点。

[注2] 但稍微有一点专业数学感觉的人就能体会,有理数其实比整数更简单,更容易处理,因为有理数具有比整数更良好的性质(比如说,任何有理数的加减乘除的结果都是有理数)。用抽象代数的眼光看,整数只构成“环”,而有理数构成“域”(域比环的结构更精细)。

[注3] 当然对此我们也并不是完全无计可施,想不出什么招儿(参见上一节)。但老实说,上一节我们所用的“招”即算术分析法是难度较大、不太容易把握的奇招险招,推理过程比较累人,另外也缺少一般性,不易推广。相比之下,这里我们要讲的新“招”更简洁明快,同时也更具有普遍性,也能用于求比圆更复杂的其他代数曲线(如椭圆曲线)上的有理点。

[注6] 实际上无需任何计算我们就能料定 P 点必定是有理点,不光是对单位圆 x2 + y2 = 1,这对任何有理系数的二次曲线 f(x,y) = 0 都是成立的(但对三次曲线则不成立),请读者思考这是为什么?

参见 ______ .

[注8] 点(-1, 0)除外.

[注9] 两个整数称为互质的,若它们没有异于±1的公因子。

      另外,为了使有理数 k 和互质整数对( p, q ) 一一对应,我们还须约定 p > 0.

[注10] 注意,我们认为只是前两个数次序不同的既约勾股数如(3, 4, 5)和(4, 3, 5)是相同的既约勾股数,在下面的勾股数第一公式勾股数第二公式中,实际上我们都约定了前两个数的次序是奇数在先偶数在后(既约勾股数的前两个数必为一奇一偶,这可以从勾股数第二公式明显地看出,当然也可以从勾股数第一公式看出)。