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从勾股定理到费马大定理 (2)

—— From Pythagorean Theorem to Fermat's Last Theorem
 

      谢国芳(Roy Xie)                               Email:  roixie@163.com   

章节目录

1. 勾股定理和勾股数

  1.1 用算术分析方法寻找勾股数的公式(勾股数第一公式)

  1.2 用解析几何方法寻找勾股数的公式(勾股数第二公式)

2. 从勾股数到高斯整数

  2.1 勾股数引发的“危机”——唯一分解定理告急!

  2.2 “山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”——唯一分解定理有救了!

  2.3 “得来全不费工夫”——勾股数公式最简单快捷的推导

 

2. 从勾股数到高斯整数

 

2.1 勾股数引发的“危机”——唯一分解定理告急!

在本节中,我们将用一种全新的眼光看待勾股数——即满足下面这个方程的正整数:

a2 + b2 = c2

还记得吗?在第一节(用算术分析方法寻找勾股数的公式)中,我们推导勾股数公式关键的第一步是通过移项把平方和变成平方差:

a2 = c2 - b2

然后利用平方差公式对右边进行因式分解:

a2 = c2 - b2 = (c + b)(c - b)  

试问,如果不移项,可不可以进行因式分解呢?

……(请展开你的想象力的翅膀!)……

 

啊!可以的!在虚数的世界里!“平方和”“平方差”在虚数世界里完全是平起平坐的!因为我们有了神奇的 -1 的平方根 i:

i = √-1,       i2 = (√-1)2 = 1

在 i 的魔法下,正负号的差别完全消失了:

a2 + b2  =  a2 - (ib)2  = (a + bi)(a - bi)

以最简单的勾股数(3, 4, 5)为例,从

32 + 42 = 52

我们可以得到

(3+4i)×(3-4i) = 5 × 5 = 25

   

请仔细地观察上面这个等式,你是否觉得它有点离奇和玄妙,因为看上去数 25 在虚数的世界里有两种截然不同的分解方式: 

 

25 = 5 × 5

  

 

25 = (3+4i)×(3-4i)

  

不知道你对此有何感想,是否感到惊讶?是否感到困惑?

 

在普通实整数的世界中,一个数也有多种不同的分解方式,例如:

 225 = 15 × 15

    (1)

 225  = 5 × 45

    (2)

对此我们不会感到丝毫的惊讶和困惑,因为我们知道,它们的不同只是表面上的,如果我们把分解进行到底——即分解到不能再分解即所有的因子都变成质数为止,最后得到的结果总是一样的。

例如,假如我们从式(1)开始分解下去:

 225 = 15 × 15 = 3 × 5 × 3 × 5

   

从式(2)开始分解下去:

 225 = 5 × 45 = 5 × 5 × 9 = 5 × 5 × 3 × 3

   

无论用哪一种方式分解,最后都殊途同归地得到

 225 = 32 × 52

  

这就是质因子唯一分解定理,也称为算术基本定理。

然而,前面我们得到的数 25 的两种分解 25 = 5 × 5 和 25 = (3+4i)×(3-4i) 看上去是那样的不同,实在让人疑虑重重,我们对于数的分解的老经验还管用吗?换句话说,在虚数的世界中,质因子唯一分解定理(下面简称唯一分解定理)还有效吗?

对此我们有两种选择或者说两种态度:

一种是消极的悲观的态度,眼看着唯一分解定理好像不中用了,干脆就放弃它算了。

另一种是积极的乐观的态度,那就是要想尽一切办法“保住”宝贵的唯一分解定理,不到万不得已决不放弃。

在数学中,正如在人生中一样,后者往往是更好的选择和更好的态度,抱着这种积极乐观的态度,你就会想办法动脑筋,就会上下求索,四处寻找出路,说不定就会峰回路转,绝处逢生,重新看到希望和光明。

 

2.2 “山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”——唯一分解定理有救了!

现在,假定我们作积极乐观的选择,那就是相信在虚数的世界中唯一分解定理依然有效,在这样的信念下,我们就会想到,数 25 的两种分解 25 = 5 × 5 和 25 = (3+4i)×(3-4i) 看上去不可调和的“矛盾”只是因为我们没有将分解进行到底!

一个绝妙的想法犹如一道闪电霎那间照亮了迄今为止笼罩着我们的黑暗:

那就是 5 在虚数的世界里也是可以分解的!因为(你想到了吗?一个多么简单的等式!它就是我们的救星,唯一分解定理的救星!)

5 = 4 + 1 = 22 + 12

所以 5 可以分解为[1]

5 = (2+i)×(2-i)

   

于是

25 = 5 × 5 = (2+i)2(2-i)2

   

注意到

 (2+i)2  = (2+i)×(2+i) = 3+4i  

 

  (2-i)2  = (2-i)×(2-i) = 3-4i  

 

从 25 = (3+4i)×(3-4i) 我们同样得到

 25 = (3+4i)×(3-4i) = (2+i)2(2-i)2

   

我们又重新见到了美妙的唯一分解定理!

 

“大难不死,必有后福”,唯一分解定理经受了如此严峻的考验,这更大大坚定了我们对它在虚整数世界中也同样成立的信心(虽然我们还不知道怎样证明)

接下来让我们看更多勾股数的例子,另一组大家熟悉的勾股数是(5, 12, 13),从

52 + 122 = 132

我们得到 169 的两种不同的分解:

169 = 13 × 13 

 169 = (5+12i)×(5-12i)

    (3)

根据我们前面的经验,我们预料,只要继续分解下去,这两种表面看上去迥然不同的分解方式就会导出相同的结果。产生这一奇迹的关键是和 5 一样,13 也能表示为两个平方数的和(参见注[1]

13 = 9 + 4 = 32 + 22

因此 13 可以分解为

13 = (3+2i)×(3-2i)    

   

于是

169 = 13 × 13 = (3+2i)2(3-2i)2

   

注意到

 (3+2i)2  = (3+2i)×(3+2i) = 5+12i  

 

 (3-2i)2  = (3-2i)×(3-2i) = 5-12i  

 

从式(3)我们同样得到

169 = (5+12i)×(5-12i) = (3+2i)2(3-2i)2

   

这再次验证了唯一分解定理!

 

 

2.3 “得来全不费工夫”——勾股数公式最简单快捷的推导  

现在让我们从特殊的勾股数转而考虑一般的勾股数,即满足方程 a2 + b2 = c2 的正整数 a, b, c. 考虑 c2 的两种不同的分解方式: 

 c2 = c × c

    (4)

 c2 = (a + bi)(a - bi)

    (5)

假定在虚数的世界中唯一分解定理依然有效,为了能从式(4)和式(5)导出 c2 的一个相同的因子分解,c 必定可以分解为两个虚整数的乘积。不妨设 c 能分解为两个共轭虚整数的乘积(这是最简单最自然的情形),即

 c = (p + qi)(p - qi)

    (6)

于是

c2 = (p + qi)2(p - qi)2

   

式(5)的一个解显然是

a + bi = (p + qi)2 = p2 - q2 + 2pqi

a - bi = (p - qi)2 = p2 - q2 - 2pqi

比较实部和虚部即得

a = p2 - q2,  b = 2pq

    (7)

从式(6)得到

c = p2 + q2

    (8)

这样我们就用一种非常轻松自然的方式推导出了一个勾股数公式。任意选取两个正整数 p, q(p>q),由式(7)、(8)给出的 a, b, c 显然是一组勾股数,但它可能是非既约的,为了得到既约的勾股数,只要加上 p, q 互质且奇偶性相反的约束条件即可(参见上一节的勾股数第二公式)。

还记得吗?在前两节中,为了推导勾股数公式我们费了不少周折(其中辛苦唯有亲自动手尝试者方能体会到),在这里之所以能如此轻松地将它“信手拈来”,仿佛“得来全不费工夫”,只是因为我们用了更上乘的功夫——将唯一分解定理外推到了虚整数的世界。

To be continued(à suivre

 注 解

[注1] 这意味着 5 在虚数的世界中并不是“质数”,用更专业的术语说是 5 不是高斯素数,同样,13,17 也不是高斯素数,因为

13 = 9 + 4 = 32 + 22 = (3+2i)(3-2i),   17 = 16 + 1 = 42 + 12 = (4+i)(4-i).

实际上,凡是被 4 除余 1 的质数即形如 4n + 1 的质数如 5,13,17,29,37,41 等都不是高斯素数,因为它们都可以表示为两个平方数之和,这就是著名的费马两平方和定理。费马最早猜测到这一规律,但证明是他力所不能逮的,欧拉给出了第一个证明,用的正是费马本人发明的方法——“无穷递降法”。后来高斯又用他的秘密武器——我们现在正在探索的虚整数即高斯整数给出了另一个十分漂亮的证明,同时他还证明这样的两个平方数是唯一的(顺便说一下,高斯研究虚整数即高斯整数的最初动机就是为了解决费马平方和问题)。

反之,凡是被 4 除余 3 的质数即形如 4n + 3 的质数如 3, 7, 11,19, 23 等在虚数的世界中仍然是“质数”(即高斯素数),因为它们都不能表示为两个平方数之和,这是很容易证明的,请读者自己动手一试。  

 

证明