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漫话平方和 (1)

— Exploring Sums of Squares

谢国芳(Roy Xie)                      Email:  roixie@163.com   

章节目录

1. 引子——圆上的格点

2. 什么样的数能表示为两个平方和

3. 费马二平方定理和其证明     

1. 引子——圆上的格点 

我们先从一种直观的几何视角开始对平方和问题的探索。

称直角坐标平面上横坐标和纵坐标都为整数的点为“格点”,以原点为圆心,作一个半径等于 r 的圆(参见下面三个图),请思考下列问题:

(Q1) 当半径 r 满足什么样的条件时,圆上能找到格点?

(Q2) 圆上的格点个数和半径 r 之间存在怎样的关系?

 

r = 5 的圆

 

r2 = 29 的圆(圆上共有8个格点) 

 

r2 = 50 的圆(圆上共有12个格点) 

 

 

 

(Q3) 限定半径 r ≤ 10,以什么样的半径作圆,圆上的格点个数最多?请在下图中画出。

 

请读者先停住屏幕,尝试独立地解答本题,这是一个饶有趣味的问题,又不像前两问那么难以回答,倘若你能找到方格纸和圆规,不妨动手画一画,然后再往下看答案。

如果你不动一番脑筋直接看答案,就像猜谜时不动脑筋直接看谜底,实在是失去了一种极大的乐趣。

子曰,“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”。希望你能好好地玩味数学的乐趣,发现有趣的数学和无趣的数学之间的区别。

 

 

 

下面先给出最后一个问题(Q3)的解答[1],因为它是可以用简单的穷举搜索法解决的(在想不出巧法的情况下,穷举法无疑是最稳当保险的方法,只要你确保无遗漏地“遍历了”所有可能的情形,就总能得到正确的答案)。

第三问(Q3)的解答:

当 r2 = 65 或 85 时,圆上的格点个数最多,共计16个,如下图所示(图中只标出第一象限的格点,其余三个象限的格点可由对称性得到):

 

 

 

设以原点为圆心、r 为半径的圆上一点的坐标为(x,y),令 r2 = n, 根据勾股定理有

 x2 + y2 = n

    (1)

因此圆上有格点当且仅当上述方程有整数解,即 n 能表示为两个整数的平方之和。

前面的第一个问题(Q1)于是就转化为:什么样的数能够表示为两个整数的平方之和(或者说两个平方数的和,也可以简称为两个平方和)。

第二个问题(Q2)就转化为求方程(1)的整数解的个数,即数 n 表示为两个平方和的方法数。

 

 

 注 解

[注1] 后面我们会给出这一问题更快捷的解法,当然这要等我们圆满地解决前面的第二个问题(Q2)之后。