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漫话平方和 (3)

— Exploring Sums of Squares

谢国芳(Roy Xie)                       Email:  roixie@163.com   

章节目录

1. 引子——圆上的格点

2. 什么样的数能表示为两个平方和 

3. 费马二平方定理和其证明 

  3.1 费马的原始表述——完整版的费马二平方定理

  3.2 证明的基本思路和策略

  3.3 证明的第一步——从整数的世界到余数的世界 

  3.4 证明的第二步——“无穷递降法” 

 

3.  费马二平方定理和其证明

3.1  费马的原始表述——完整版的费马二平方定理

十七世纪的法国律师、被誉为史上最伟大的“业余数学家”的费马(Pierre de Fermat)在 1640 年12 月 25 日写给梅森(Mersenne)的信中提出了如下的论断(梅森也是一个业余数学家,他的职业是神父,但他醉心于科学和数学,以发现梅森素数而名垂青史。梅森学识渊博,品格高尚,人脉广泛,在当时的科学圈中有很大的影响力。那时还没有什么学术刊物,梅森可以说是当时法国乃至欧洲大陆数学家的总联络员和信息交换站,写给梅森的信相当于是写给科学院的报告,它的内容很快会传达给其他人)

« Tout nombre premier , qui surpasse de l’unité un multiple du quaternaire est une seule fois la somme de deux carrés. De même son carré . Son cube et son carré-carré sont chacun deux fois la somme de deux carrés ; son carrécube et son cubecube sont chacun trois fois la somme de deux carrés; etc., à l’infini… »

[拙译]任何一个比 4 的倍数大 1 的质数都能以唯一的方式表示为两个平方数之和,它的平方亦然。它的立方和四次方则都能以两种不同的方式表示为两个平方数之和;它的五次方和六次方都能以三种不同的方式表示为两个平方数之和;如此下去,以至无穷…… ”

我们可以把费马的断言分为两部分,第一部分是关于质数本身的,第二部分是关于质数的方幂的(这一部分我们留到下一节再讲),前者(译文中加下划线者)就是著名的费马二平方定理(Fermat's Theorem on Sums of Two Squares),因为费马给梅森写信的那一天正好是圣诞节,在法国它也被称为“费马的圣诞节定理”(Théorème de Fermat de Noël)。在这之前费马已经证明,任何一个比 4 的倍数大 3 的质数(如 3, 7, 11...)都不能表示为两个平方数之和[1],把它们合在一起,我们就得到了关于表质数为两个平方数之和的完整结论,这可以称为“完整版的费马二平方定理”,为了方便证明我们将它分述为如下的三个命题:

完整版的费马二平方定理

1.(必要性)一个奇质数能表示为两个平方数之和的必要条件是它被 4 除的余数等于 1

2.(充分性)任何一个被 4 除余数等于 1 的质数都能表示为两个平方数之和。

3.(唯一性)如果一个质数能表示为两个平方数之和,这样的两个平方数是唯一的。

在上面这三个命题中,最容易证明的是必要性(在上一节中我们已经给出了一个证明,下面我们将会用很简单的同余理论给出另一个证明),最困难的是第二个命题即充分性的证明,它难倒了费马(虽然费马隐约猜测到这应该可以用自己发明的强大的新式武器——“无穷递降法”证明,但具体该怎么用却一筹莫展),也难倒了所有和费马同时代的数学家,一直要等到一百年后,才由数学巨匠欧拉(Euler)找到了第一个证明,他的证明十分复杂,其中关键的一步果真用到了费马的“无穷递降法”。

后来拉格朗日(Lagrange)又用他的秘密武器——“二次型理论”给出了另一个证明,高斯(Gauss)在他的不朽名著《算术研究》(Disquisitiones Arithemeticae)中用模算术和二次互反律大大简化了证明,其门下的高徒——戴德金(Dedekind)则利用老师首创的高斯整数也就是虚整数(即实部和虚部都是整数的复数)给出了更加简单漂亮的证明,注意到高斯整数从几何上看就是横坐标和纵坐标都为整数的点即格点(参见第一节:引子——圆上的格点,它和平方和问题之间的联系可以说是天生注定、最自然不过的[2]  只是讲高斯整数需要较多的预备知识,我们这里暂且按下不表,等以后有机会再慢慢道来。

关于高斯整数的一个富有启发性和探索性的导引,参见《从勾股数到高斯整数》

 

 

3.2  证明的基本思路和策略

下面我们就来探讨如何证明费马二平方定理中的第二个命题即充分性

任何一个被 4 除余数等于 1 的质数都能表示为两个平方数之和。

温馨提示:我们说过这是最困难的部分,尽管如此,还是强烈建议读者能停住屏幕,花些时间尝试一下独立地证明它,虽然成功的机会不大,但至少在亲身试过之后,你能切切实实地感受它的难度,明白它到底难在哪里,然后再往下看,才会“增益己所不能”,有真正的心得和收获。

 

p 是一个被 4 除余数等于 1 的质数,我们证明的基本思路是分两步走。

1. 第一步是证明存在 p 的一个倍数 mp 可以表示为两个平方数之和,即存在整数 x, y, m 使得

x2   + y2  =  mp

这离我们最终的目标——即证明 p 本身是两个平方数之和似乎还差得很远,但它是朝着该目标迈出的突破性的第一步,想到这第一步至关重要,这好比是在一片漆黑中看到了第一线亮光,在难以攀援的峭壁上凿出了第一个立脚点。“良好的开始是成功的一半”,我们很快就会看到,这第一步不折不扣是完成了一半的证明。

在解决一些非常困难的问题时,常常很难一蹴而就,一步登天,“一口吃成一个胖子”,一下子解决整个问题,这时候,就要有足够的智慧想到放弃正面强攻和直线冲击(在很多情况下这是徒劳无益的,只会白白地损耗力量,浪费时间),而改用以退为进、徐图渐进、逐步逼近的策略,首先撤退到外围,寻找一个与之关联的相对比较容易的问题,将它解决了之后再以此为基地和跳板发起后续进攻,逐渐缩小包围圈,向终极目标步步进逼,直到最后直捣黄龙,将它“拿下”。

无论是解决数学问题还是其他问题,这一高明的策略都具有极大的普遍性和指导意义。

百余年来数学家们解决哥德巴赫猜想的方法就是应用这一策略的一个最经典的例子。

1742年6月7日,和费马一样酷爱数论的德国业余数学家哥德巴赫(Goldbach)在写给欧拉的信中提出了这样一个猜想:

任何一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和。[3]

例如:  4 = 2 + 2,  6 = 3 + 3,    8 = 5 + 3,   10 = 5 + 5  7 + 3,   12 = 7 + 5, ...

后来人们就把这一猜想称为哥德巴赫猜想,表明上看它十分简单,连一个小学生都能明白,但要证明它简直比登天还难。欧拉没有能够证明它,二百多年过去了,仍然没有人能够证明它或者推翻它,直到今天它还是一个悬而未决的猜想,和另一个和素数有关的猜想——黎曼猜想并列为顶级的数学难题。

尽管如此,数学家们在征服哥德巴赫猜想的道路上还是取得了辉煌的成就。

在哥德巴赫猜想提出后长达一百六十多年的时间里,数学家们对它束手无策,无计可施。第一个重大突破是1920年挪威数学家布朗作出的,他正是巧妙地采用了我们上面所说的“撤至外围、以退为进”的策略,放弃了直接证明哥德巴赫猜想本身,转而证明了一个与之相关的但弱得多的命题——每一个大偶数都是二个“素因子都不超九个的”数之和,简称为“9 + 9”,虽然这和证明哥德巴赫猜想本身还相距甚远,但它无疑是向着这一终极目标迈出的意义深远的第一步!这是在漫漫长夜中看到的第一线曙光,在无路可寻的荒漠里找到的第一个路标,在不可攀援的千仞绝壁上凿出的第一个坚实的立脚点,从此拉开了一场向哥德巴赫猜想即“1 + 1”步步进逼的世纪数学竞赛的帷幕。

四年后,德国数学家拉特马赫改进了布朗的结果,他证明了“7 + 7”,即每一个大偶数是二个“素因子都不超七个的”数之和。

八年后,英国数学家埃斯特曼又前进了一步,证明了“6 + 6”。

1938年和1940年,苏联数学家布赫希太勃先后证明了“5 + 5”和“4 + 4”。 

1956年,中国年青的数学家王元证明了“3 + 4”,随后又证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。

1962年,中国山东大学数学系讲师潘承洞和苏联数学家巴尔巴恩证明了“1 + 5”(这个可喜的“1”表示其中一个数已经确定为素数), 紧接着王元和潘承洞联手又证明了“1 + 4”。 

1965年,苏联数学家布赫希太勃和小维诺格拉多夫,意大利数学家朋比利独立地证明了“1 + 3”。

1966年,中国科学院数学研究所的研究员陈景润证明了 “1 + 2”,即任何偶数都是一个素数和另一个“素因子不超过二个的”数之和。这是用筛法取得的最好的结果(以上证明都是用筛法完成的),它被誉为筛法的“光辉的顶点”。

至此,离最后证明哥德巴赫猜想即“1 + 1”只剩下一步之遥!

(但这恐怕是最难跨越的一步,五十多年过去了,依然没能跨过去,也许陈景润“1 + 2”真的是筛法的“顶点”,要证明“1 + 1”,必须另辟蹊径 ……


2. 第二步是从 p 的一个倍数 mp 可以表示为两个平方数之和证明 p 本身可以表示为两个平方数之和。

 

 

3.3  证明的第一步——从整数的世界到余数的世界

 

为了方便证明,我们先引入同余(congruence)的概念和同余记号。

定义(同余和同余记号) 如果两个数 a, b 的差 a - b 能被 n 整除,我们就说这两个数关于模(modulus) n “同余”,用下面的记号表示:

 a   b    (mod n)

例如,17 - 2 = 15 能被 5 整除,所以 17 和 2 对模 5 同余,即

17  ≡  2      ( mod 5 )

在很多方面,同余关系“≡”表现得几乎和普通的等号“=”完全一样,正如两个相等的量可以互相替换一样,两个同余的数也可以互相替换。

作为练习,试证明同余的下列基本性质。

同余(congruence)的基本性质

若 a ≡ b,  c ≡ d  ( mod n ),则

(1)   a + c  ≡  b + d         ( mod n )

(2)   ac  ≡  bd               ( mod n )

(3)   ax  ≡  bx               ( mod n

           



 

Proof1

关于同余和模算术更详细的讨论参见 《从整数的世界到余数的世界——A First Exploration into the Wonderful World of Numbers

 

探究一个质数 p 能否表示为两个平方数之和,等于问下面这个方程有没有整数解

  x2   + y2  =  p       

    (3-1)

显然,该方程有解意味着对于任意整数 n 同余方程

  x2   + y2  ≡  p       (mod n)

    (3-2)

都有解。反之,如果对于某个 上述同余方程无解,那么就可推知方程(3-1)没有整数解。

换句话说,方程(3-1)有整数解的必要条件是对所有的模 n 同余方程(3-2)都有解。

 

例如,取模 n = 4,我们来看一下,对于什么样的质数 p ,下面这个同余方程有解:

  x2   + y2  ≡  p       (mod 4)

    (3-3)

 

x 01 23
x2(mod 4) 02  ≡ 012   1 22   0 32   1

由上表可知,对于任意的 x, 都有

x2   ≡   0  1     (mod 4)

因此 x2  +  y2  (mod 4) 只可能取 0,1,2 三个值,即同余方程(3-3)有解的条件是

p  ≡  0,1,2     (mod 4)

因为没有 p 0  (mod 4) 的质数,  p 2  (mod 4) 的质数只有 2 一个,所以我们马上得出下面的结论:

  p 为异于 2 的质数方程(3-1)有整数解,即 p 能表示为两个平方数之和的必要条件是

  p  ≡  1     (mod 4) 

    (3-4)

  p 是被 4 除余数等于 1 的质数。

这样我们就证明了费马二平方定理的必要性部分,而费马二平方定理意味着式(3-4)也是 p 能表示为两个平方数之和的充分条件!这就是我们接下来要证明的。

 

方程(3-2)中取模 n = p,我们就得到下面的同余方程:

  x2   + y2  ≡  0       (mod p)

    (3-5)

显然,x 0,  y (mod p) 总是它的解,这可以称为“平凡解”(trivial solution)。

下面让我们先用实验的方法探索对于什么样的质数 p, 上述同余方程有非平凡的解。

(倘若找到了一个这样的解,就等于找到了一个 p 的倍数,它能表示为两个平方数之和。)

为了考察 x2  +  y2    p 的取值,我们采用了和上一节中的“平方和表”完全相同的表格,只是用到了模  p 的运算,因此可以称之为“模  p 的平方和表”。只要在表中出现一个 0(为了醒目我们着以红色),我们就找到了同余方程(3-5)的一个非平凡的解,如果整张表中找不到一个 0,就意味着它没有非平凡的解,即其唯一的解是 x 0,  y (mod p).(请读者思考,由此可以推导出什么结论?)

 

 模 3 的平方和表 

x2
(mod 3)
12  
≡  1
22  
 ≡  1
12   ≡  1 1+ 12 
 2
2+ 12 
 2
22   ≡  1 5 2+ 22 
 2

 

 

 模 5 的平方和表 

x2
(mod 5)
12  
≡  1
22  
 ≡  4
32  
≡  4
42  
≡  1
12   ≡  1 1+ 12 
 2
2+ 12 
 0
3+ 12 
 0
4+ 12 
 2
22   ≡  4 5 2+ 22 
 3
3+ 22 
 3
4+ 22 
 0
32   ≡  4 1013 3+ 32 
 3
4+ 32 
 0
42   ≡  1 1720 25 4+ 42 
 2

 

 

 模 7 的平方和表 

x2
(mod 7)
12  
≡  1
22  
 ≡  4
32  
≡  2
42  
≡  2
52  
≡  4
62  
≡  1
12   ≡  1 1+ 12 
 2
2+ 12 
 5
3+ 12  
 3
4+ 12  
 2
5+ 12  
 5
6+ 12  
 2
22   ≡  4 5 2+ 22  
 1
3+ 22 
 6
4+ 22 
 6
5+ 22 
 1
6+ 22 
 5
32   ≡  2 1013 3+ 32  
 4
4+ 32  
 4
5+ 32  
 6
6+ 32  
 3
42   ≡  2 1720 25 4+ 42  
 4
5+ 42 
 6
6+ 42 
 3
52   ≡  4 262934 41 5+ 52 
 1
6+ 52 
 5
62   ≡  1 37 4045 5261 6+ 62 
 2

 

想必读者已经从上面各表中看出了模平方的一种对称性,那就是

x2   ≡  (p - x )2      (mod p)

实际上,我们早就应该预料到这一对称性,因为显然有

p - x  ≡  - x      (mod p)

x2   ≡  (- x)2      (mod p)

p = 11 为例,我们有

12    ≡  102   ≡  (-1)2   ≡  1      (mod 11)

22    ≡   92   ≡   (-2)2   ≡  4      (mod 11)

32    ≡   82   ≡   (-3)2   ≡  9  ≡  -2       (mod 11)

42    ≡   72   ≡   (-4)2   ≡  16  ≡  5       (mod 11)

52    ≡   62   ≡   (-5)2   ≡  25  ≡  3       (mod 11)

基于这种对称性,考察 x2  +  y2    p 的取值,只要限定 0  <  x , y < p/就行了。

 

 模 11 的平方和表 

x2
(mod 11)
12  
≡  1
22  
 ≡  4
32  
≡  -2
42  
≡  5
52  
≡  3
12   ≡  1 1+ 12 
 2
2+ 12 
 5
3+ 12  
 -1
4+ 12  
 -5
5+ 12  
 4
22   ≡  4 5 2+ 22  
 -3
3+ 22 
 2
4+ 22 
 -2
5+ 22 
 -4
32   ≡  -2 1013 3+ 32  
 -4
4+ 32  
 3
5+ 32  
 1
42   ≡  5 1720 25 4+ 42  
 -1
5+ 42 
 -3
52   ≡  3 262934 41 5+ 52 
 -5

 

 

 模 13 的平方和表 

x2
(mod 13)
12  
≡  1
22  
 ≡  4
32  
≡  -4
42  
≡  3
52  
≡  -1
62  
≡  -3
12   ≡  1 1+ 12 
 2
2+ 12 
 5
3+ 12  
 -3
4+ 12  
 4
5+ 12  
 0
6+ 12  
 -2
22   ≡  4 5 2+ 22  
 -5
3+ 22 
 0
4+ 22 
 -6
5+ 22 
 3
6+ 22 
 1
32   ≡  -4 1013 3+ 32  
 5
4+ 32  
 -1
5+ 32  
 -5
6+ 32  
 6
42   ≡  3 1720 25 4+ 42  
 6
5+ 42 
 2
6+ 42 
 0
52   ≡  -1 262934 41 5+ 52 
 -2
6+ 52 
 -4
62   ≡  -3 37 4045 5261 6+ 62 
 -6

 

 

 模 17 的平方和表 

x2
(mod 17)
12  
≡  1
22  
 ≡  4
32  
≡  -8
42  
≡  -1
52  
≡  8
62  
≡  2
72  
≡  -2
82  
≡  -4
12   ≡  1 1+ 12 
 2
2+ 12 
 5
3+ 12  
 -7
4+ 12  
  0
5+ 12  
-8
6+ 12  
 3
7+ 12  
 -1
8+ 12  
 -3
22   ≡  4 5 2+ 22  
 8
3+ 22 
 -4
4+ 22 
 3
5+ 22 
 -5
6+ 22 
 6
7+ 22 
 2
8+ 22  
 0
32   ≡  -8 1013 3+ 32  
 1
4+ 32  
 8
5+ 32  
 0
6+ 32  
 -6
7+ 32 
 7
8+ 32  
 5
42   ≡  -1 1720 25 4+ 42  
 -2
5+ 42 
 7
6+ 42 
 1
7+ 42  
 -3
8+ 42  
 -5
52   ≡  8 262934 41 5+ 52 
 -1
6+ 52 
 -7
7+ 52  
 6
8+ 52  
 4
62   ≡  2 37 4045 5261 6+ 62 
 4
7+ 62  
   0
8+ 62  
 -2
72   ≡  -2           7+ 72  
 -4
8+ 72  
 -6
82   ≡  -4             8+ 82  
 -8

 

 

 模 19 的平方和表 

x2
(mod 19)
12  
≡  1
22  
 ≡  4
32  
≡  9
42  
≡  -3
52  
≡  6
62  
≡  -2
72  
≡  -8
82  
≡  7
92  
≡  5
12   ≡  1 1+ 12 
 2
2+ 12 
 5
3+ 12  
 -9
4+ 12  
  -2
5+ 12  
7
6+ 12  
 -1
7+ 12  
 -7
8+ 12  
 8
9+ 12  
 6
22   ≡  4 5 2+ 22  
 8
3+ 22 
 -6
4+ 22 
 1
5+ 22 
 -9
6+ 22 
 2
7+ 22 
 -4
8+ 22  
 -8
9+ 22  
 9
32   ≡  9 1013 3+ 32  
 -1
4+ 32  
 6
5+ 32  
 -4
6+ 32  
 7
7+ 32 
 1
8+ 32  
-3
9+ 32  
 -5
42   ≡  -3 1720 25 4+ 42  
 -6
5+ 42 
 3
6+ 42 
 -5
7+ 42  
 8
8+ 42  
 4
9+ 42  
 2
52   ≡  6 262934 41 5+ 52 
 -7
6+ 52 
 4
7+ 52  
 -2
8+ 52  
 -6
9+ 52  
 -8
62   ≡  -2 37 4045 5261 6+ 62 
 -4
7+ 62  
 9
8+ 62  
 5
9+ 62  
 3
72   ≡  -8           7+ 72  
 3
8+ 72  
 -1
9+ 72  
 -3
82   ≡  7             8+ 82  
 -5
9+ 82  
 -7
92   ≡  5               9+ 92  
 -9

 

 

思考题

仔细观察上面各个“模  p 的平方和表”( p = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19),你能发现什么规律?

 

 

 

To be continued(à suivre

 

 注 解

[注1] 实际上费马证明了更强的命题:任何一个比 4 的倍数大 3 的质数(如 3, 7, 11...)不但不能表示为两个整数的平方之和,而且也不能表示为两个有理数的平方之和(请思考这意味着什么,参见______)。

[注2] 从上一节中的婆罗摩笈多恒等式,还有“不可约平方和”与三种高斯素数之间的一一对应关系我们都可以窥见平方和问题和高斯整数之间十分紧密的天然的联系。

[注3] 这实际上是经过欧拉修改后的版本,哥德巴赫原先的猜想是任何一个大于5的整数都等于三个质数之和。