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π 有关的神奇等式(1)——欧拉的伟大发现

谢国芳(Roy Xie)                       Email:  roixie@163.com   

章节目录

1. 引子

2. 历史漫谈——贝塞尔的难题

3. 数值计算——实验性的探索和强有力的佐证

4. 理论推导和证明——欧拉的方法和现代方法

 

1.  引子

发现者: 欧拉(Leonhard Euler,1707~1783)    时间:1735年

亲爱的读者,倘若你是第一次见到这个等式,一定会惊讶得目瞪口呆吧,什么?把所有自然数的平方的倒数全部加在一起,竟然正好等于圆周率平方的六分之一!

天哪!这太神了!太不可思议了!这简直不是数学而是魔术!

是的,这的确是一个十分神奇又优美得动人心魄的等式,任何一个凝视和思索它的人,都会深深地感到数的世界的神秘,一种深刻的和谐,一种天定的秩序,和超越凡俗、接近神祗的冷峻的美。

 

2.  历史漫谈——贝塞尔的难题

在十八世纪初叶,求所有自然数平方的倒数和是一个非常有名的难题,被称为“贝塞尔问题”(the Basel Problem),因为它难倒了大名鼎鼎的瑞士贝塞尔城的数学双雄——雅各布•伯努利(Jakob Bernoulli)和弟弟约翰•伯努利(Johann Bernoulli),他们兄弟俩堪称是当时欧洲大陆最富盛名的数学家,其赫赫威名在整个欧洲可以说无人不知,无人不晓。

其实这个问题最早是由意大利数学家蒙哥利(Pietro Mengoli)提出的,在他的一本专著中,蒙哥利研究了一系列有趣的无限和,他首先指出所有自然数的倒数和(它也称为调和级数)

是发散的[1],也就是说它的值等于无穷大(请读者思考如何证明这一点),并给出了一个漂亮的证明[2]

        

证明

接着他考虑了下面这个级数:

             (1.3)

它的和可以用初等的方法巧妙地求出,结果等于 1(请读者自己尝试独立地求出它)

         

summation

下一步,蒙哥利很自然地就想到了求平方数的倒数和:

            (1.4)

从形式上看,它似乎比(1.3)更简单,但实际上后者的和很容易求出(相信一些聪明的读者已成功得手),而(1.4)的求和却异常困难,对此蒙哥利感到很吃惊,他坦率地承认,自己没有能力求出这个和,并感叹道,解决这个问题看来需要“更高等博大的智慧”(蒙哥利的这一直觉无疑是正确的,虽然他没法预见到这个“更高等博大的智慧”就是后来的数学巨匠欧拉)

继蒙哥利之后,当时欧洲大陆最顶尖的数学家像莱布尼茨(Leibniz),老伯努利兄弟,还有小伯努利——约翰•伯努利的儿子丹尼尔•伯努利(Daniel Bernoulli),以及英国的斯特林(James Sterling)都先后尝试过求级数(1.4)的和,均未能成功。

在伯努利老哥俩中,特别是老大雅各布•伯努利对这个级数情有独钟,迷恋至深。雅各布•伯努利是求级数和的高手,他的一个突出成就是求出了自然数的方幂和即从 1 n 的自然数的 p 次方之和,当 p = 1 时,这个和就是

答案想必人人都晓得(有一个流传很广的关于少年高斯的传说与此有关):

由此出发,雅各布•伯努利不断地“更上一层楼”,求出了自然数的平方和,立方和,……,一直算到了十次方(唐朝诗人王之涣的名句:“欲穷千里目,更上一层楼”,用在数学探索上是最恰当不过了)


思考题

请读者先从最简单的平方和开始思考怎样求出这些和(传说中少年高斯想出的那个办法这时候不管用了,你必须另想高招)。

提示:有一个规律非常明显,相信诸位都看出来了,那就是从 1 n p 次幂的和是一个 n p + 1 次多项式。倘若你能证明这一点,也就抓住了整个问题的核心,可这并不是一件容易的事,不过没关系,你可以暂且假定这一点成立,接下来的数值计算嘛,还是比较容易的(在下面的更多提示中给出了一个笨方法,更高明的方法将另文专叙)……

 

证明

算到 10 次方之后,雅各布•伯努利觉得过瘾了,不用再往下算了(虽然他对数值计算很享受,为了 Show 一下自己的求和公式的威力,他算出了从1到1000的10次方的和,得到的结果是 91,409,924,242,424,243,424,241,924,242,500 [3]——注意,那时可没有计算器,全靠手算啊!),这已经足以让他看清一般规律了(虽然他的读者可能还像雾里看花,稀里糊涂),他马上给出了一般公式:


其中的 Bk 为伯努利数(Bernoulli numbers),当然,这是后来数学家们为了纪念雅各布•伯努利起的名字,雅各布•伯努利只是定义了这些数,并推导出了一个递推关系[5],据此很容易将它们逐个算出。

前几个伯努利数是(除了B1 外,所有的奇伯努利数都等于0which is very nice):

眼尖的读者或许注意到了,第二个伯努利数 B2 = 1/6 恰好就是本文顶上那个伟大等式右边的系数!这当然不是偶然的巧合,我们在后面将会看到,自然数的正幂和与负幂和之间有非常奇妙的深刻联系(这同样是欧拉发现的),它和 zeta 函数——就是那个著名的黎曼猜想中的 zeta 函数 ζ(s) 有关。

对于无穷级数雅各布•伯努利也深有研究,曾写过一本论文专集《无穷级数论稿》(Tractatus de seriebus infinitis),成功地求出了很多无穷级数的值(其中也包括式(1.3)中的那个级数)。然而,平方倒数和级数(1.4)却让他碰了个大钉子,虽然他使出浑身解数,长年孜孜以求想求出它的和,但一直未能如愿以偿,征服这条桀骜不驯的巨龙。挫折和失败更激发了他的求知欲,他是如此地渴望知道答案,曾在他的专著中公开表示,对任何能破解这个难题的人都会感激不尽。

在《无穷级数论稿》中他写道:

可惜的是,雅各布•伯努利没能活到亲眼看见谜底揭晓(他于1705年去世,那一年欧拉还没有降生呢),倘若他在九泉之下有灵,得知这个级数的和与圆周率有关,一定会欣喜若狂,激动得热泪盈眶吧。

三十年后,当欧拉把该级数的和等于告诉老师约翰•伯努利的时候,约翰•伯努利感慨道,“要是我哥哥雅各布活着就好了!”


 

To be continued(à suivre

 

 注 解 和 知 识 拓 展

[注1] 但实际上,蒙高利并不是发现调和级数发散的第一人。早在1360年,法国巴黎纳瓦尔学院(College de Navarre)的教授奥雷姆(Nicole Oresme,1323 -1382)就发现了这一点,他的证明方法和蒙高利的完全相同,这可以说是在整个漫长黑暗的中世纪中欧洲数学最了不起的成就,只可惜奥雷姆的结果后来湮没无闻了,直到三百多年后才被重新发现。

[注2] 对于学过微积分的读者,也可以用

证明调和级数发散(因为当 x → ∞ 时, lnx → ∞ ),并知道它的发散量级和 lnx 相当。

1736年,欧拉用他最喜欢的求和公式——欧拉-麦克劳林求和公式(Euler-Maclaurin summation formula)得到了更精确的结果:

其中 γ 为欧拉常数(Euler’s Constant), γ 0.5772156649015329. 注意,上式右边各项的系数本质上正好就是伯努利数(能独立发现这一点的读者必为过目不忘、悟性极高之人)!

伯努利数表示,上面这个看上去令人恐怖的式子就可以改写成赏心悦目的样子:

What a miracle! What a happy coincidence!
    Of course this is no coincidence, there is no coincidence in mathematics.

But to explain why, it’s a long story ......
    let’s talk about it another time.

[注3] 据热心读者 Athen 的指正,该数字的第11位有误,应该是 1 而不是 2。

   → 参见 <网友信箱> 答读者 Athen 的来信(主题:“欧拉的伟大发现”一文中的一个计算错误)

[注5] 该递推关系用现代记号可以表示为

        

其中 为组合数,即二项式系数(binomial coefficient)。

后来,欧拉又发现了伯努利数的生成函数(generating function):