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代数方程解法新论

——怎样在一个一般性策略的指导下解出 n 次代数方程(4)

谢国芳(Roy Xie)                       Email:  roixie@163.com   

章节目录

1. 导论

2. 一个解 n 次代数方程的一般性策略

3. 解出二次方程的变换——平移变换

4. 三次方程的最几何直观的解法

  4.1 线性变换能解出三次方程吗

  4.2 将线性变换的“功效”发挥到极致

  4.3 最终解出三次方程的变换

5. 四次方程的解法

6. 五次和五次以上方程的求解

 

4.3  最终解出三次方程的变换

在前面两个小节中,我们利用很简单的几何直观确定了一般的三次方程不能通过线性变换解出,这意味着要解一般形式的三次方程,我们必须考虑线性变换以外的变换。

究竟什么样的变换能够成功地解出一般形式的三次方程呢?

在搜索各种可能奏效的候选变换时,我们自然想到应用我们前面说过的数学中的一个基本原则——“最简原则”或者说“经济原则”:

在尝试解决一个问题时首先应该尝试用最简单的方法,如果不行再逐步升级改用更高一级的方法。“杀鸡不用牛刀”,达成同一个目的,手段越简单越好。

前面我们尝试了最简单的变换——线性变换,没有成功(但并不是没有成果,我们发现利用线性变换可以消去一般三次方程的二次项(见 4.2.1 平移变换的功效),进而又可以使一次项系数取任意非零值(见 4.2.2 旋转位似变换的功效))

那么,在线性变换之后,最简单的变换是什么呢?

从代数的观点看,线性变换就是一次函数,所以问题等价于:

除掉一次函数,最简单的函数是什么呢?

相信绝大多数读者都会不假须臾之思,脱口而出地回答:

二次函数!

这无疑是正确的第一感。

 

二次函数是每个中学生都最熟悉不过的,它的一般形式是

     

    (4.31)

用这样的变换的确能解出一般的三次方程[1],最早想到这一点的是德国数学家冯•契恩豪斯(von Tschirnhaus ,1651 ~ 1708) ,变换(4.31)正是著名的契恩豪斯变换(Tchirnhaus transformation)的特例。

凭空想到作形如式(4.31)的代换可以解出三次方程绝对需要非凡的灵感和深邃的洞察力,需要一位像契恩豪斯这样横空出世的奇才。

而现在,我们毫不费力地极其自然地想到了它,自然得就像竹笋冒出地面、小鸟飞上枝头一样!

从数学的方法和思想上讲,“化神奇为平凡”,变“奇异的”、“不自然的”、难以想到和把握的方法为“正常的”、“自然的”、容易想到和把握的想法,无疑是一种巨大的进步,我们可以把这一条称为数学的“自然原则”。它和上面的“最简原则”是共通兼容、并行不悖的,“自然原则”正是思想方法上的“最简原则”。  

 

思考题:除了二次函数之外,你还能想出其它比较简单的代数函数吗?

 

 

 

To be continued(à suivre

 注 解 和 知 识 拓 展

[注1] 英国当代著名数学家、菲尔茨奖得主 Timothy Gowers 在他的长文How to Discover for Yourself the Solution of the Cubic(如何亲自发现三次方程的解法)中也谈到了用二次函数即形如(4.31)的变换解三次方程的方法。

该文的 英文原版见 https://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/cubic.html

中译文(完整版)下载地址:http://ishare.iask.sina.com.cn/f/35759097.html

 



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