Number rules the universe.

    数支配着宇宙。
              ——毕达哥拉斯(Pythagoras)

 

 

 

 

    Reason is immortal, all else mortal.

    理性是不朽的,其余一切都会消亡。
              ——毕达哥拉斯(Pythagoras)

 

 

 

 

    The highest form of pure thought is in mathematics”.

    数学是纯粹思维的最高形式。

                                  ——柏拉图(Plato)

 

 

 

 

     

    Nature’s great book is written in mathematical symbol.
    自然这本大书是用数学符号写的。
                             ——伽里略(Galileo)

 

 

 

 

 

 

    Wir müssen wissen, wir werden wissen.

    We must know, we will know.

    我们必须知道,我们必将知道。

 

             ——希尔伯特(Hilbert)

 

 

 

 

    Pure mathematics is,in its way,the poetry of logical ideas.
    纯粹数学,就其本质而言,是逻辑思维的诗篇。
                      ——爱因斯坦(Einstein)

 

 

 



 

   A true mathematician who is not also something of a poet will never be a perfect mathematician.
    一个没有几分诗人气质的数学家永远不可能成为十全十美的数学家。
             ——魏尔斯特拉斯(Weierstrass)





    Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty, a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show.
   < 拙译> 数学,当你正确地看待它时,不仅拥有真,而且拥有非凡的美 —— 一种犹如雕塑般冷峻而素朴的美,一种不引诱任何我们的较软弱天性的美,一种没有绘画和音乐那样富丽花俏的装饰的纯净之至的美,同时又能达到一种唯有最伟大的艺术才能表达的严格的完美。
               ——罗素(Bertrand Russell






   The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as in poetry.
   < 拙译> 正如在诗歌中一样,在数学中同样能找到真正的欢乐的精神,升华的快感,那种超越凡俗接近神祗的美妙感觉——它是最高等级的卓越成就的试金石。
               ——罗素(Bertrand Russell






    Archimedes will be remembered when Aeschylus is forgotten, because languages die and mathematical ideas do not. "Immortality" may be a silly word, but probably a mathematician has the best chance of whatever it may mean.

    < 拙译> 当埃斯库罗斯被人遗忘之际阿基米德仍会被人铭记,因为语言会死亡而数学思想不会。“长生不死”是一个愚蠢的词,但不管它实际上何所指,数学家当属首选。
   

                            ——哈代G.H.Hardy

         ——摘自《一个数学家的辩白》

            (A Mathematician's Apology)


 

 

 

 

  

    If intellectual curiosity , professional pride , and ambition are the dominant incentives to research , then assuredly no one has a fairer chance of gratifying them than a mathematician. His subject is the most curious of all --- there is none in which truth plays such odd pranks. It has the most elaborate and the most fascinating technique, and gives unrivalled openings for the display of sheer professional skill. Finally , as history proves abundantly , mathematical achievement, whatever its intrinsic worth , is the most enduring of all.

     <拙译> 如果理智的好奇,职业的自豪和抱负心是研究工作的主要激励,那么可以肯定没有谁比数学家享有更好地满足这些欲望的机会了。他的研究对象是世上最激发好奇心的——没有哪一个领域里的真理爱跟人耍如此奇诡的把戏。它具有最完善精致和最有趣迷人的工具,它给人表现纯粹的职业技巧无可匹敌的良机。最后,正如历史充分证明的那样,数学上的成就,无论它的内在价值如何,是世间最永久恒常的。


                            ——哈代G.H.Hardy

 

        ——摘自《一个数学家的辩白》

            (A Mathematician's Apology)




 


    But on the whole the history of science is fair, and this is particularly true in mathematics. No other subject has such clear-cut or unanimously accepted standards, and the men who are remembered are almost always the men who merit it. Mathematical fame, if you have the cash to pay it, is one of the soundest and steadiest of investments.
   
<拙译> 但在总体上讲,科学的历史是公平的,对数学尤然。没有一门其他的学科象数学一样有着如此清晰明确和被一致公认的标准,而那些被铭记的人几乎都是当之无愧的。数学上的荣誉,如果你有支付得起的现金的话,是最合理最稳固的投资之一。

                       ——哈代G.H.Hardy

 

        ——摘自《一个数学家的辩白》

            (A Mathematician's Apology)

 

 

 

 

 


因为物理学家戴森和数学家戴森的“分裂”而错失的发现[1]

      弗里曼戴森(F. J. Dyson)自叙      谢国芳译注

  roixie@163.com

我原来是学数论出身,在剑桥念本科时给我们上课的正是当时已经是传奇人物的哈代(G.H.Hardy),即使对于一个本科生来说,那时也已经很清楚,哈代和拉马努金(Ramanujan)那种风格的数论已经过时了,没有远大的光辉的前景。实际上,连哈代本人在一篇公开发表的关于拉马努金的 τ-函数的讲义中,也把该专题描述为“数学的死水僻壤”之一, τ-函数定义为下面这个模形式的系数:

其中的 η(x) 是戴德金(Dedekind)函数[1]。拉马努金发现了很多令人瞩目的 τ-函数的算术性质,后来莫代尔(Mordell),亥科(Hecke)等人对这些性质的证明和推广在模形式理论的发展中起到了至关重要的作用,但 τ-函数本身依然是一片远离数学主流的“死水僻壤”,业余爱好者可以恣意地在其中涉足徜徉,一展身手,而不会受专业人士的竞争的干扰。

在我已经转行成为物理学家很久以后,我对 τ-函数依然怀有一份眷恋之情。作为正经的物理学工作之余的消遣,我会时不时地回过头去看拉马努金的文章,琢磨他留下没有解决的许多引人入胜的问题。四年前,在这样一个暂时逃离物理的“假日”里,我发现了一个关于 τ-函数的新的公式,它是如此地优美,拉马努金本人没有想到它实在是令人惊讶的。该公式是

其中的求和对所有满足下面条件的整数 a, b, c, d, e 的集合进行[2]

根据式(1),这也可以写成关于戴德金 eta-函数的二十四次幂的公式。我是受温奎斯特(Winquist)的一封来信的启发得到这一结果的,温奎斯特碰巧也是一个在业余时间搞点老式数论的物理学家,他发现了一个关于eta-函数的十次方幂的类似的公式。

当我进一步用我的麻烦费劲的土方法探究这些恒等式时,我发现。如同式(2)一样优美的公式对于所有的 η(x) 的 d 次方幂都存在,只要d 是下面这个整数数列中的数:

事实上 d = 3 的情形被雅可比(Jacobi)发现[3], d = 8 的情形被克莱因(Klein)和弗里克(Fricke)发现, d = 14,26 的情形为阿特金(Atkin)发现。到此我就止步不前了,我盯了式(3)中的这些奇异的数字一会儿,它们对曾经是个数论学家的我来说没有任何意义,我的大脑的知识结构组织分类得太好了,以至于我居然没有想起来,这些数字是在我作为物理学家的生涯中常常碰到的。倘若这些数字和一个物理问题相关联出现,我一定会认出它们是有限维单李代数的维数,除了 26 之外。数字 26 为什么会出现,我至今都不明白。其余的数字均对应于单李代数: A1 , A2 , B2 , G2 , A3, B3 , A4 , D4 , A5 , B4 等等,例如 d = 24 对应于李代数 A4 。就这样我错失了发现存在于模形式和李代数之间的一个深刻的联系的机会,而这仅仅是因为数论学家戴森和物理学家戴森没有彼此沟通。

这个故事有一个圆满的结局。我所不知道的是,英国数学家伊安•麦克唐纳德(Ian Macdanold)发现了这些相同的公式,它们是他的一个更一般得多的理论的特殊情形,他的理论一开始就包含了李代数,出乎意料的反倒是和模形式的联系。不管怎样,麦克唐纳德建立了两者的联系,抓住了我失去的机会。巧的是,当我们俩都在研究这个问题时,麦克唐纳德正好在普林斯顿高等研究院,他在普林斯顿的那一年因为我们的女儿在同一个学校的同一个班级,我们还三天两头地碰面,但因为他搞数学而我做物理,我们从不讨论我们的工作,只有在他回到牛津之后,这才晓得我们俩个人曾经彼此相对坐在咫尺之间,思考着同样的问题,这又是一个失掉的机会,但并不是一个悲剧,因为麦克唐纳德轻松愉快地搞清楚了整个问题,不劳我的任何帮助。

【注1】本文节选自弗里曼·戴森发表在《美国数学月刊》上的专论《错失的机会》(Missed Opportunities),标题是译者所加。


拉马努金(Ramanujan, 1887-1920)

哈代(G.H. Hardy, 1877-1947)