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因为数学和物理学的“分裂”而错失的机会(1)

——作者 弗里曼戴森(F. J. Dyson)  谢国芳译注       Email:  roixie@163.com   

章节目录

1. 引子

2. 先谈点数论——因为物理学家戴森和数学家戴森的“分裂”而错失的发现

3. 麦克斯韦方程——因为数学家们的冷漠而错失良机

4. 运动群——从伽利略群到洛仑茨群和庞加莱群再到德西特群

5. 四元数和矢量——哈密尔顿 vs.格拉斯曼

6. 广义坐标不变性——广义相对论和量子力学的矛盾

7. 费曼和——量子场论严格性的缺失

8. 结论

It is important for him who wants to discover not to confine himself to one chapter of science, but to keep in touch with various others.                     ——Jacques Hadamard

 

2.  先谈点数论——因为物理学家戴森和数学家戴森的“分裂”而错失的发现

我原来是学数论出身,在剑桥念本科时给我们上课的正是当时已经是传奇人物的哈代(G.H.Hardy),即使对于一个本科生来说,那时也已经很清楚,哈代和拉马努金(Ramanujan)那种风格的数论已经过时了,没有远大的光辉的前景。实际上,连哈代本人在一篇公开发表的关于拉马努金的 τ-函数的讲义中,也把该专题描述为“数学的死水僻壤”之一, τ-函数定义为下面这个模形式的系数:

 

           (1)

其中的 η(x) 是戴德金(Dedekind)函数[1]。拉马努金发现了很多令人瞩目的 τ-函数的算术性质,后来莫代尔(Mordell),亥科(Hecke)等人对这些性质的证明和推广在模形式理论的发展中起到了至关重要的作用,但 τ-函数本身依然是一片远离数学主流的“死水僻壤”,业余爱好者可以恣意地在其中涉足徜徉,一展身手,而不会受专业人士的竞争的干扰。

在我已经转行成为物理学家很久以后,我对 τ-函数依然怀有一份眷恋之情。作为正经的物理学工作之余的消遣,我会时不时地回过头去看拉马努金的文章,琢磨他留下没有解决的许多引人入胜的问题。四年前,在这样一个暂时逃离物理的"假日"里,我发现了一个关于 τ-函数的新的公式,它是如此地优美,拉马努金本人没有想到它实在是令人惊讶的。该公式是

            (2)

其中的求和对所有满足下面条件的整数  a, b, c, d, e 的集合进行[2]

根据式(1),这也可以写成关于戴德金 eta-函数的二十四次幂的公式。我是受温奎斯特(Winquist)的一封来信的启发得到这一结果的,温奎斯特碰巧也是一个在业余时间搞点老式数论的物理学家,他发现了一个关于eta-函数的十次方幂的类似的公式。

当我进一步用我的麻烦费劲的土方法探究这些恒等式时,我发现。如同式(2)一样优美的公式对于所有的 η(x) d 次方幂都存在,只要d 是下面这个整数数列中的数:

 

          (4)

事实上 d = 3 的情形被雅可比(Jacobi)发现[3] d = 8 的情形被克莱因(Klein)和弗里克(Fricke)发现,= 14,26 的情形为阿特金(Atkin)发现。到此我就止步不前了,我盯了式(4)中的这些奇异的数字一会儿,它们对曾经是个数论学家的我来说没有任何意义,我的大脑的知识结构组织分类得太好了,以至于我居然没有想起来,这些数字是在我作为物理学家的生涯中常常碰到的。倘若这些数字和一个物理问题相关联出现,我一定会认出它们是有限维单李代数的维数,除了 26 之外。数字 26 为什么会出现,我至今都不明白。其余的数字均对应于单李代数: A1 , A2 , B2 , G2 , A3, B3 , A4 , D4 , A5 , B等等,例如 d = 24 对应于李代数 A4 。就这样我错失了发现存在于模形式和李代数之间的一个深刻的联系的机会,而这仅仅是因为数论学家戴森和物理学家戴森没有彼此沟通。

这个故事有一个圆满的结局。我所不知道的是,英国数学家伊安麦克唐纳德(Ian Macdanold)发现了这些相同的公式,它们是他的一个更一般得多的理论的特殊情形,他的理论一开始就包含了李代数,出乎意料的反倒是和模形式的联系。不管怎样,麦克唐纳德建立了两者的联系,抓住了我失去的机会。巧的是,当我们俩都在研究这个问题时,麦克唐纳德正好在普林斯顿高等研究院,他在普林斯顿的那一年因为我们的女儿在同一个学校的同一个班级,我们还三天两头地碰面,但因为他搞数学而我做物理,我们从不讨论我们的工作,只有在他回到牛津之后,这才晓得我们俩个人曾经彼此相对坐在咫尺之间,思考着同样的问题,这又是一个失掉的机会,但并不是一个悲剧,因为麦克唐纳德轻松愉快地搞清楚了整个问题,不劳我的任何帮助。他唯一没有搞清楚的是 d = 26 的情形,它依然是一个撩人的谜团。

 

 

 注 解 和 知 识 拓 展

[注1] 戴德金 eta-函数的定义是

除了前面的一个因子,它本质上就是欧拉函数

根据著名的欧拉五角数定理(Euler pentagon theorem),有

               (1.3)

  (1.4)

欧拉最早用实验性的方法发现了上面这个等式,虽然它看上去是那么初等,但要证明它绝非易事,它甚至难倒了伟大的欧拉!(直到八年后欧拉才终于找到了严格的证明,参见——)

欧拉函数和整数的分划问题有密切关系(这也是欧拉最初考虑该函数的原因),实际上有

        (1.5)

其中p (n) 表示正整数 n 的分划数,即把 n 写成小于n的正整数之和(也包括它本身,这时候的和只有一项)的不同方法数。例如

2有两种不同的分划:2,2 = 1+1, 所以 p (2) = 2.

3有三种不同的分划:3,3 = 2+1, 3 = 1+1+1, 所以 p (3) = 3.

4有五种不同的分划:4,4 = 3+1, 4 = 2+2, 4 = 2+1+1, 4 =1+1+1+1,  所以 p (4) = 5.

显然 p (1) = 1,在式(1.5)中规定 p (0) = 1.

请读者思考如何计算 p (n) 的一般值。

 

[注2] 缩写的同余式(关于同余和同余式参见"从整数的世界到余数的世界"

的准确意思是

这是笔者通过实际计算确定的。建议有兴趣的朋友也自己动手算出前几项来看看,以切身感受戴森发现的这个公式的奇妙。

 

当然,为了检验戴森的公式是否正确,你必须用另外独立的方法计算出无穷乘积

展开后的系数,这是一项艰巨的任务,因为有那么多个括号要乘出来,而且还要再加上 24 次方!

(不过,注意一下技巧,算出最前面的二三项还是没有问题的,再多就难了)

为了方便大家核对,下面给出我的计算结果:

这意味着 τ (1) = 1,  τ (2) = -24, τ (3) = 252,  τ (4) = -1472 . 

[注3] d = 3 的情形实际上最早由高斯发现,所以应该称为高斯(三角数)恒等式

高斯恒等式可以从雅可比三重积恒等式(Jacobi triple product identity)推出。