Gauß, Eisenstein, and the ``third'' proof of the Quadratic Reciprocity Theorem: Ein kleines Schauspiel

高斯、爱森斯坦和二次互反律的“第三个”证明

—— 一幕小戏剧

 

谢国芳(Roy Xie)译

                                                                                                                                          Email:  roixie@163.com 

 

时间:1844年

人物:卡尔·弗里德里希·高斯    ——    哥廷根天文台台长,十九世纪(很可能是所有时代)最伟大的数学家
  爱森斯坦    ——    柏林弗里德里希·威廉大学数学系的21岁大学生 

 

 

 

爱森斯坦:早在我的青少年时期,我就被这一门学科的美所吸引,它与其他学科的不同不只是内容上的,最重要的是其方法的性质和多样性,在该学科中,仅仅以逻辑推理的长链罗列从某个想法导出的结果是不够的,几乎每一步都要求你克服新的困难和应用新的原理。  

五十多年前,数论仅仅是一些孤立事实的汇总,并不为广大的数学家所知,只有少数人偶尔涉猎它,虽然欧拉已经在其中找到了能让他从其他活动中分一下心的消遣和娱乐。通过高斯和他的一些后继者的努力,数论才达到了如此的高度,使得它在深度和广度上都不逊色于其他数学分支,并对很多分支产生了富有成果的影响。一个其门徒包括最杰出的数学天才的学派兴起了,我也有幸成为其一份子,尽管只是最低级别的。  

 

爱森斯坦(继续):您,尊敬的台长阁下,如此雄辩地描述了这门学科奇异的魅力,并对它的基本定理给出了若干个不同的证明。    

 

高斯: 高等算术(译注:高斯喜欢称数论为高等算术,或就简称为算术——注意它和我们通常所说的算术一词的意思不同,下文不再一一注明)的问题往往表现出一种在更一般的分析中罕见的显著特征——这一特征反过来增加了该学科的美。那就是,分析的研究只有在该领域的基本原理被完全掌握之后才会导致新的真理的发现(基本原理在某种程度上开辟了通向这些真理的道路),但与之相反,在算术中,最优美的定理常常靠多少让人难以预料的好运气被实验性地发现,而它们的证明则深深地隐匿在黑暗中,顽固地抵制所有的努力,挫败最锐利的探究。此外,算术中各规律之间的联系初看起来似乎性质迥异,但实际上却是如此紧密,以至于你时常会幸运地以一种完全出乎意料的方式、通过另一个不同领域的研究觅得一个规律的证明,而在这之前你虽然如此强烈地渴望证明它,耗费了大量努力却徒劳无功。这些规律常常可以通过多种不同的途径被发现,最先发现的途径并不总是最短的,因此在没有成果地苦苦思索一个规律、后来能用一种迂回的方式证明它之后,终于找到了一个最简单最自然的证明是多么令人欣喜啊!

 

在上一段所说的问题中,我们在《算术研究》(Disquisitiones Arithemeticae )第四节中称之为基本定理的定理(译注:即二次互反律)居于一个突出的位置,因为它蕴含了所有二次剩余的理论。我们必须承认勒让德是这个非常优美的定理的发现者,虽然它的一些特例之前被大名鼎鼎的几何家欧拉和拉格朗日发现过,我不打算在此花时间细述这些人企图证明它的尝试,有兴趣者可以参阅上面提到的著作。讲述一下我本人在这方面的坎坷经历就足以证实上一段中的断言。我在1795年独立地发现了这个定理,当时我对其他人在高等算术中的成就一无所知,因此并没有从相关文献上得到一星半点的帮助,这个定理折磨了我整整一年,耗去了我最艰巨的努力,直到最后我终于得到了一个证明,这就是在上述著作第四节中给出的证明。后来我又发现了另外三个基于完全不同的原理的证明,其中有一个我已经在上述著作的第五节中给出,其余的几个论优美都难以与之比肩,我保留着等将来发表。尽管这些证明在严格性上无可挑剔,它们的背景来源却都和原问题相距甚远,可能除了第一个之外,但它的论证过程十分辛苦,并且充斥着大量的计算。我不加犹豫地说,迄今为止还没有找到一个“自然的”证明,最近,我又有幸发现了下面的这个证明,它是否配得上这一描述(译注:即称得上是一个自然的证明),就留给权威们去评判吧。

 

高斯(继续): 二次互反律比较二个质数关于彼此的二次剩余特征, q 关于 p 的二次剩余特征由勒让德符号 表示,定义它等于 1 如果 q 是模 p 的二次剩余(即一个平方),否则就等于 -1.

二次互反律 如果 p q 是互异的奇质数,则

 对于质数 2, 我们有补充律


注意该定理说 p q 相对于彼此有相同的二次剩余特征如果它们中有一个模 4 等于 1,但如果它们模 4 都等于 3 则不。

这个定理为什么如此重要呢?首先,它可以用来解决什么时候二次同余式有解的一般问题,因为该基本定理连同勒让德符号的积性即 使得我们很容易计算勒让德符号的值,从而确切地知道何时可以求得模 p 的平方根。但它同时也揭示了存在于质数对之间的一个意想不到的惊人的联系,一个支配质数的深刻的法则。在本世纪的晚些时候,鲍穆加特将会描述该基本定理在高等算术中的角色:

    “高等算术本质上分为两部分:同余理论和齐次式的理论。二项同余式理论是一般同余理论的核心组成部分,而互反律则是后一理论的基石。”

实际上,在我的一生中,我将给出这一基本定理八个不同的证明,其他数学家会发现更多。但是我发表的第三个证明——它就是我现在要介绍的——也许是我知道的最自然的一个。我的证明从下面这个定理开始,它或许会被后世称为

高斯引理 p 是质数,而 q 是任意一个不被 p 整除的数,那么

其中的 α 由以下的方式得到,设


那么 α  定义为 在集合 中的 p 的最小正剩余的数目 .


 

证明: 设 a, a', a'', ...... 是属于集合 的剩余,b, b', b'', ...... 是属于  的剩余. 那么很显然,后者的补即 p - b,  p - b',  p - b'', ......  不等于 a, a', a'', ...... 中的任何一个(若不然,设 qx ≡ a = p - b ≡ p - qy,其中 x, y 来自集合 , 那么 q (x+y)  就会被 p 整除, 但这是不可能的,因为 x y 都严格地位于 0 和 p/2 之间),  并与之一起构成集合 .  因此我们就有


上式右边的乘积对模 p 取同余后显然变成:

于是就有

,其中的正负号由 α 是偶数或奇数决定.由此立得我们的定理(由欧拉准则 ). [11]

 

 

爱森斯坦:最最尊敬的台长阁下,我也在二次互反律的研究上倾注了大量心血,并给出四个不同的证明,我最近发表的几何式证明和您的第三个证明有关联,而且——恕我大言不惭——在阐明其要旨的方式上可以说是某种改进。在我写给我在哥廷根的朋友莫里茨·斯特恩的信中我的兴奋之情溢于言表:

“我一直不得安宁,直到使我的几何式证明摆脱了之前它仍依赖的(高斯)引理。该证明让你十分高兴,而且,顺便说一下,也令雅可比大为高兴。现在它是如此简单,寥寥几行就能讲清楚了。我的论证和高斯的论证之间的最大区别是我没有把小于  p 的数分为小于 p/2  和 大于 p/2 的两部分,而是把它们分成偶的和奇的两部分。”

 

我的证明是这样的,它的出发点是下面这个有朝一日希望会被称为爱森斯坦引理的论断。

考虑集合 a = 2, 4, 6, ......, p-1. 设任意一个 qa p 的余数为 r,显而易见, (-1)r r p 的余数集合和集合 a = 2, 4, 6, ......, p-1 重合,(因为每一个 (-1)r r  有偶的最小正剩余,如果在这些剩余中有重合,例如

a  ≡  ± a' .因为 a 是互异的,故 a + a' ≡  0 ,但这是不可能的,因为 0 < a + a' <  2p 而a + a' 是偶数.) 这样一来就有


 由此就得到  (mod p). 回忆欧拉准则  (mod p), 这就给出

故而我们可以仅仅把注意力集中在指数的奇偶性上,这个公式我用来替换您的引理,因为式(1)中的指数是代数性质的,接下来我的证明将比您的更容易,顺便说一下,实际上对这个指数有贡献的奇数项恰好对应于您的引理中计及的项。


 

 

高斯: 唔,这个,这个我们还要等着瞧,大学生。在开始我的证明的主体之前,我将先推导关于取整函数“[]”的一些技术性的事实——下面我们将用到这些事实。设 x 是一个不是整数的量,那么

1. 当 b 是一个整数时 [x] + [b- x] = b-1 . 

2. 如果 x - [x] 小于 1/2,则 [2x] - 2[x] = 0 . 反之,如果 x - [x] 大于 1/2 ,则 [2x] - 2[x] = 1. 

   这样一来就有:

3. 如果 b 模 p 的最小正剩余小于  ,则 . 反之,如果它大于  ,则  .   

4. 由此就得到



爱森斯坦:但是,怀着对您的崇高敬意,恕我直言,我的引理中的式(1)可以更快捷更一目了然地产生本质上与之等价的公式,显然


因为元素 a 全都是偶的,而 p 是奇的,因此 这样从式(1)就得到

这和您在式(2)中得到的关于 α 的信息是一样的,因为这里有关系的仅仅是奇偶性。

 

 

高斯: 唔,爱森斯坦先生,这的确是推导出式(3)的聪明的捷径。接下来则必须作如下的计算,我用下面的方法变换式(2)的形式:从上面的性质1,我们有

把这些替换应用到式(2)的第一行中的倒数 项,我们就得到:

首先,当 p 是 4n + 1 的形式时,

其次,当 p 是 4n + 3 的形式时,

由此我们就得到了当 q = 2 时的补充律,此后我们就设 q 是一个奇质数。

 



爱森斯坦:首先,台长阁下, 补充律也很容易可以从我的式(3)得到。 其次,对于奇的 q , 您的替换的结果都可以作几何的解释(参见下图)。

 

让我们用一个简单的几何表示变换式(3)中的指数 同时保持它的奇偶性,该指数正是图中位于三角形ABD内部的横坐标为偶数的整数格点的数目(注意在直线AB上没有格点)。考虑偶的横坐标 a > p/2 ,因为在矩形ADBF内部横坐标为 a 的格点数等于 q - 1,(它是个偶数),所以在直线AB下方的 个格点的奇偶性和直线AB上方的格点数的奇偶性相同,而后者又和位于直线AB下方、横坐标等于 p - a(它是奇数)的格点数相同,三角形BHJ中横坐标为偶数的格点和三角形AHK中横坐标为奇数的格点之间的这种一一对应意味着 其中 μ 是三角形AHK中的格点数,这样一来就有


 

在上面您给出的 α 的各表达式中,第一行是偶的,而第二行计算的正好是三角形AHK中的格点数,当我们只关心奇偶性的时候,您的替换可以通过这些几何变换很简单地实现。

 

 

高斯 (旁白): 见鬼, 和这位年轻人的几何方法相比,我的计算真的显得笨拙。

 

高斯(再次向爱森斯坦): 很好,爱森斯坦先生, 你的方法确实有一些优点,但是现在你的几何方法已达到了它的极限,我们必须用下面的方法比较 p, q 的互反性。 考虑上面 α 的各表达式中的第二行,然后把它和 p, q 的角色互换后得到的相同的表达式比较,我将证明

这需要一点技巧,不是三言两语能说清楚的,但我们可以如下进行。

 

 

爱森斯坦 (激动地): 可是,台长阁下, 这,这从几何表示看是显而易见的,因为它只不过是三角形AHK中的格点数 μ 和 三角形AHL中的格点数目 ν 的和,它显然等于矩形内的格点总数 .

 

 

高斯 (犹豫了一会后): 果然如此, 尊敬的爱森斯坦先生,这真是很令人赞叹的!但为了完整性,我将完成我的论证,令

其中的 βα 一样定义,只是互换 p, q 的角色。接下来,从上面 α 的表达式,我们看到 L 是偶数,同样 M 也是偶数,此外,

这样就有

证明就大功告成了。

 

 

爱森斯坦: 台长阁下, 感谢您不吝赐教。当然我的证明老早就完成了,因为我得到

正如我写给我的朋友斯特恩的信中所说,

“欧拉会认为自己是多么幸运啊!倘若在七十年前他得到了这几行公式。”

 

爱森斯坦 (旁白): 我很疑惑,当他在1808年发表他的第三个证明的时候,对于他的变换高斯是否已经有了和我一样的几何观点,还有,这只老狐狸在我们的交谈中是否从头到尾都只是在迎合迁就我。

 


 

                                                            谢国芳Roy Xie)   20128月15日译

 


            
                                                  

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